Cтраница 2
Представляет большой интерес вопрос о возможности приведения всех матриц представления некоторой группы к одинаковому квазидиагональному виду. Если при помощи некоторого ортогонального преобразования координат можно все матрицы представления одновременно привести к квазидиагонэльному виду, то представление называется приводимым; если такого преобразования не существует, то представление называется неприводимым. [16]
Для нахождения матриц неприводимых представлений точечных групп достаточно знать матрицы представлений для групп, состоящих из операций чистых вращений. [17]
Это обстоятельство играет важную роль при нахождении явного вида матриц представлений группы перестановок. [18]
Если нельзя найти преобразование подобия, которое приводило бы все матрицы представления к виду ( Д 3), то H ( g) называется неприводимым представлением. [19]
Если невозможно найти такое преобразование подобия, которое приводит все матрицы представления к виду (8.4), то представление называют неприводимым. [20]
Эти равенства полезны тем, что позволяют записать первые столбцы матриц представления. [21]
Следовательно, функции координат преобразуются линейно друг через друга с помощью матриц представления. Такие функции называются базисом данного представления. [22]
При этом взаимное расположение квадратов одинаковой размерности должно быть одинаковым во всех матрицах представления. Если размеры этих квадратов нельзя далее уменьшить никаким линейным преобразованием функций базиса, то каждый из них представляет матрицу некоторого неприводимого представления. [23]
К сожалению, с ядрами операторов мы не можем обращаться так свободно как с матрицами представлений, поскольку приходится заботиться о сходимости интегралов. Поэтому теперь будем рассматривать не классы групп, а отдельные, как правило, простые по своему строению группы. Однако теоретико-групповые методы исследования специальных функций остаются теми же, что и в случае ортонормированных базисов, с той лишь разницей, что суммы по индексам базисных элементов заменяются интегралами. [24]
Положим сюда 5izy2rb 52шУ2г2, ricos2t, r2 - sin2, и запишем его для матриц представлений Та. [25]
Оператор со ] отличается от в ( отсутствием знака комплексно сопряженного у матричного элемента ( поскольку матрицы представления Г действительны) и множителем перед суммой. [26]
Центр алгебры о при любом неприводимом представлении должен отображаться на такие матрицы, которые перестановочны со всеми матрицами представления. Если основное поле алгебраически замкнуто и кольцо представляющих матриц - полное матричное кольцо, то матрицы центра состоят лишь из кратных единичной матрицы Е; следовательно, центр алгебры о в этом случае представляется матрицами вида Еа. То же самое верно и для абсолютно неприводимых представлений, потому что в этом случае можно перейти к алгебраически замкнутому основному полю, не утрачивая неприводимости. Итак: при любом абсолютно неприводимом представлении алгебры о элементы ее центра представляются кратными единичной матрицы. [27]
Центр алгебры о при любом неприводимом представлении должен отображаться на такие матрицы, которые перестановочны со всеми матрицами представления. Если основное поле алгебраически замкнуто и кольцо представляющих матриц - полное матричное кольцо, то матрицы центра состоят лишь из кратных единичной матрицы Е следовательно, центр алгебры о в этом случае представляется матрицами вида Еа. То же самое верно и для абсолютно неприводимых представлений, потому что в этом случае можно перейти к алгебраически замкнутому основному полю, не утрачивая неприводимости. Итак: при любом абсолютно неприводимом представлении алгебры о элементы ее центра представляются кратными единичной матрицы. [28]
Вещественные функции базиса остаются, конечно, вещественными и в результате воздействия всех элементов симметрии; другими словами, вещественны и все матрицы представления группы. [29]
Вещественные функции базиса остаются, конечно, вещественными и в результате воздействия всех элементов симметрии; другими словами, вещественны и все матрицы представления группы. Если же некоторое неприводимое представление не удовлетворяет этому требованию, то оно должно быть объединено с комплексно - сопряженным ему представлением в одно физически неприводимое представление вдвое большей размерности. Рассмотрим с этой точки зрения случаи, которые могут иметь место для представлений пространственных групп ( С. [30]