Cтраница 3
Задача о нахождении кратности вырождения молекулярных колебаний и задача о снятии вырождения при понижении симметрии сводятся к диагонализа-ции матрицы, которая коммутирует с матрицами представления группы. [31]
Таким образом для того, чтобы доказать, что любое представление ( 187) не является приводимым достаточно показать, что если некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами представления ( 187), то эта матрица кратна единичной матрице. Таким образом представления ( 187) попарно неэквивалентны и каждое из них является неприводимым представлением. [32]
Как установлено в теории матричных представлений, для решения многих задач оказывается достаточным знать не сами представления, а только их характеры; характер представления - совокупность следов всех матриц представления. [33]
Таким образом, для того, чтобы доказать, что любое представление ( 187) не является приводимым, достаточно показать, что если некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами представления ( 187), то эта матрица кратна единичной матрице. Итак, представления ( 187) попарно неэквивалентны и каждое из них является неприводимым представлением. [34]
Совершенно аналогичная ситуация возникает тогда, когда имеются два поднабора функций фр ф2, ф3 и г), г () 2, г) 3, преобразующихся каждый по неприводимому представлению Г и выбранных так, что на каждом поднаборе матрицы представления для каждой операции симметрии одни и те же. [35]
Приведем без доказательства следующие теоремы, доказанные в теории групп: а) число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов группы, б) сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна числу элементов группы ( порядку группы), в) суммы диагональных элементов матриц представления для различных элементов одного класса совпадают, г) сумма характеров неприводимых представлений равна характеру того приводимого представления, из которого они образованы. Эта операция называется разложением характера приводимого представления на характеры неприводимых представлений. Чрезвычайно существенны теоремы о единственности указанного разложения и разложения порядка группы на квадраты размерностей неприводимых представлений. [36]
Выясним прежде всего, все ли неприводимые представления груипы R являются однозначными. Если матрицы представления Df удовлетворяют условиям 0 ( 0, О, ) D. Dj ( 6, ср, 0) Dj ( 0, ср, 2тс), то мы имеем дело, очевидно, с однозначными представлениями, в противном случае представление D - не является однозначным. [37]
Операции g -, как и матрицы G [, образуют вместе с g ( или G) так называемый класс сопряженных элементов. Для матриц представления Г все матрицы из класса сопряженных элементов имеют один и тот же след ( как, впрочем, одинаковы и все другие их инварианты), поэтому таблицы характеров приводятся лишь для классов сопряженных элементов. Таким образом, характеры эквивалентных представлений одинаковы, а следы матриц, отвечающих сопряженным элементам группы, равны друг другу. [38]
Заметим, что при повороте С3 2рх - и 2ру - орбиталп переходят в линейные комбинации их. Соответствующая операции С3 матрица представления второго порядка выписана на стр. [39]
Оказывается, что можно легко получить сколько угодно новых представлений. Для этого каждую матрицу представления необходимо подвергнуть преобразованию подобия с помощью неособенной, одной и той же для всех матриц преобразования матрицы В. [40]
Группа квадратных матриц, гомоморфная данной группе, называется ее представлением. Число строк или столбцов матриц представления называется размерностью представления. [41]
Третий симметризатор В получается из двумерного неприводимого представления группы треугольника и представляет собой проектор на подпространство этого неприводимого представления. При расчете симметризаторов Юнга вместо матриц представления D ( g) в формуле (4.11) записываются подстановки. Сумма проекторов на все неприводимые представления равна единичному оператору, поэтому все компоненты тензора попадают в какое-нибудь из подпространств. [42]
Отметим, что характеры и здесь еще удовлетворяют правилу об операциях симметрии одного класса. Эти матрицы такие же, как матрицы четырехмерного представления, за исключением того, что отсутствуют первый ряд и первая колонка. По общему смыслу это соответствует точке зрения, что центральная орбиталь SN играет иную роль, чем три другие. [43]
Отметим, что характеры и здесь еще удовлетворяют правилу об операциях симметрии одного класса. Эти матрицы такие же, как матрицы четырехмерного представления, за исключением того, что отсутствуют первый ряд и первая колонка. Мы говорим, что первоначальное четырехмерное представление приведено к. [44]
Представляет большой интерес вопрос о возможности приведения всех матриц представления некоторой группы к одинаковому квазидиагональному виду. Если при помощи некоторого ортогонального преобразования координат можно все матрицы представления одновременно привести к квазидиагонэльному виду, то представление называется приводимым; если такого преобразования не существует, то представление называется неприводимым. [45]