Cтраница 2
А называется ленточной матрицей. [16]
Если А - ленточная матрица с шириной ленты d, которая мала по сравнению с п, то число операций метода Гаусса составляет около d2n, в то время как К итераций потребуют около 2dnK операций. [17]
Если А - ленточная матрица, матрицы L и U имеют соответствующую ширину ленты. [18]
Матрица А - ленточная матрица, поэтому можно использовать любой из методов, разработанных для таких матриц. Однако эти методы не будут столь эффективными, как методы, рассмотренные в предыдущем разделе, поскольку в ленточном алгоритме со всеми нулями в ленте оперируют как ненулевыми элементами. [19]
Возможность треугольного разложения ленточной матрицы опирается на следующую теорему. [20]
Если собственные значения ленточной матрицы найдены с помощью одного из вышеприведенных алгоритмов, то соответствующие собственные векторы можно вычислить методом обратной итерации, используя процедуру symray. В этой процедуре предусмотрено уточнение найденных собственных значений с помощью отношения Релея; эти значения имеют точность выше обычной. [21]
Имеются процедуры факторизации хорошо заполненных и ленточных матриц, но отсутствуют процедуры для работы с разреженными матрицами. [22]
Пусть А - эрмитова ленточная матрица. Доказать, что ве матрицы Ak из (46.2), полученные при вещественных сдвигах, буд; эрмитовыми и ленточными такой же ширины. [23]
При наличии каскадной структуры ленточная матрица получается наиболее естественным способом и не требуется специальной перенумеровки узлов. [24]
Иногда полная или даже ленточная матрица слишком велика, чтобы разместить ее в быстродействующей памяти. В этом случае необходимо часть матрицы хранить во внешней памяти - на дисках или магнитных лентах. Если задача столь велика, то хотя гауссово исключение и возможно, один только объем вычислений делает его очень дорогостоящим. [25]
А и В - узкие ленточные матрицы; в случае системы АВх Ъс лишь увеличивается число полос ленточной матрицы. Поэтому оказывается возможным определить все собственные значения или часть их и, если необходимо, соответствующие собственные векторы. [26]
Единственная процедура, специально предназначенная для ленточных матриц, - это процедура unsray. Она позволяет вычислить точные собственные значения и соответствующие векторы для заданных приближений к собственным значениям. Матрица может быть несимметричной относительно главной диагонали. Процедура определяет левые и правые собственные векторы и по ним вычисляет обобщенные отношения Релея, тем самым обеспечивая возможность уточнения вычисленных ранее собственных чисел. [27]
Особенность применения ( - алгоритма для ленточной матрицы состоит в том, что все текущие матрицы А5 сохраняют ленточную симметрическую, а матрицы Rs - ленточную структуру. Поэтому когда ширина ленточной матрицы мала по сравнению с ее порядком, объем вычислений на каждом шаге алгоритма незначителен. Если сдвиги &, выбраны подходящим образом, то внедиагональные элементы последней строки и столбца быстро сходятся к нулю, что позволяет вычислить одно из собственных значений. [28]
Другая процедура - bandrd - приводит исходную ленточную матрицу к симметрической трехдиагональной. Собственные значения затем определяются с помощью процедур tqll, imtqll, bisect или ratqr, как описано выше. Поэтому применение процедуры bandrd обеспечивает большую гибкость, в частности, в сочетании с процедурой bisect. Процедура bandrd более эффективна по сравнению с процедурой bqr, если требуется вычислять большое число собственных значений. [29]
Приведем здесь систему линейных уравнений с ленточной матрицей для определения первых производных сплайна в его узлах wz - Sp di), которую, как указывалось выше, необходимо решать при построении интерполирующего сплайна по таблице сглаженных значений термодинамической функции. [30]