Cтраница 4
В заключение можно отметить, что, так как матрицы четности смежности ( в отличие от таких матриц для хкжкелевских графов) содержат отрицательные элементы, их собственные значения и собственные векторы, вообще говоря, не обнаруживают известных характеристик, предсказываемых теорией Перрона - Фробениуса для неотрицательных матриц [16], хотя, конечно, поскольку матрица M ( G) [ A ( G) ] вещественна и симметрична, все значения х, при которых рс ( х) обращается в нуль, вещественны. [46]
Предположим, далее, что начальное состояние x ( t) системы (2.13), (2.14) является не зависящим от v ( i) и w ( i) гауссовым случайным вектором с нулевым средним значением M [ x ( to) ] 0 и корреляционной матрицей М [ х ( to) x ( to) ] KQ, где KQ предполагается известной неотрицательной матрицей. [47]
Нижняя граница устанавливается аналогично. Отметим, что R - любая неотрицательная матрица, перестановочная с А или В; например, в качестве У. [48]
Можно показать, что он симметричен и сопряженный ему оператор А определен на линеале D ( Дх) той же матрицей (2.2), которой был задан оператор А. Так как оператор А задается неотрицательной матрицей Грама, то он полуограничен снизу и, следовательно, может быть расширен до самосопряженного оператора А, являющегося замыканием А. Поэтому с самого начала можно считать, что С-матрица Грама (2.2) на линеале D ( Аг) задает формулами (2.6) самосопряженный оператор А. [49]
При предельном переходе ( 42) неравенства ( 37) сохраняются. Поэтому эти неравенства имеют место для произвольной неотрицательной матрицы. Однако условие, при котором в ( 37) имеет место знак равенства, для разложимой матрицы уже неверно. [50]