Порождающая матрица

Cтраница 4

Если п - I ( mod4), то расширенный бинарный КВ-код С длины п - - 1 является самодвойственным. Это следует из замечания, предшествующего теоремам 12.7 и 8.3 и формы порождающей матрицы кода С, найденной нами ранее. [46]

Множество векторов, ортогональных ко всем векторам ( п, / с) - кода F, назовем ортогональным дополнением кода V и обозначим через V. Таким образом, любой ( п, &) - код V можно задать порождающей матрицей его ортогонального дополнения. [47]

Так как 2fc строк матрицы § k образуют всевозможные двоичные последовательности длины k, то натурально упорядоченный код V состоит из всевозможных линейных комбинаций ( с коэффициентами 0 и 1) строк матрицы ( 4) и является линейным. Ясно также, что натурально упорядоченный код V является ( п, / с) - кодом тогда и только тогда, когда матрица ( 4) состоит из линейно независимых строк и, следовательно, является порождающей матрицей кода V. Заметим, что первые 2м ( 0 и k) элементов любого натурально упорядоченного ( п, / с) - кода V образуют натурально упорядоченный ( га, ц) - код. [48]

Карлик [1969] показал, что такая форма порождающей матрицы двоичного КВ-кода очень полезна при исследовании весовой структуры кода. Так как порождающие матрицы многих хороших двоичных КВ-кодов могут быть представлены в виде (15.242), то Мак-Вильяме [1968, 1970] недавно предприняла попытку изучения новых кодов такого вида. Преимущество записи порождающей матрицы в форме, приведенной в теореме 15.24, показывает также доказательство следующей теоремы. [49]

Тэта-ряд 12-мерной решетки Кокстера - Тодда Кп. [50]

Эта решетка, по-видимому, была впервые опубликована Барнсом и Уоллом [ Ваг 18 ] в 1959 г. и с тех пор переоткрывалась многими авторами. Рида - Маллера первого порядка длины 16, приводит к порождающей матрице, изображенной на рис. 4.10, для которой детерминант равен 256, минимальная норма равна 4, контактное число т 4320, минимальные векторы суть 480 векторов вида 2 - 1 / 2 ( 22 014) и 3840 - вида 2 - 1 / 2 ( 18, О8), где 1 расположены в носителях одного из 30 кодовых слов веса 8 кода Рида - Маллера первого порядка и число минусов четно. Рида - Маллера первого порядка ( они соответствуют максимально нелинейным функциям от четырех переменных [ Мае 6, гл. [51]

Xj и являются кодовыми словами. Отметим, что этот результат справедлив также для патологического случая, когда существуют два или более кодовых слова, целиком состоящих из нулей. Последнее может случиться лишь в несистематическом коде, у которого строки порождающей матрицы линейно зависимы. Естественно, что с практической точки зрения такие коды абсолютно бессмысленны. [52]

Линейные коды удобно задавать с помощью матриц. Матрица Н ( С), строками которой являются кодовые слова кода С С Вп, называется матрицей кода С. Матрица М ( С), строками которой являются векторы некоторого произвольного базиса ( п, &) - кода ( 7, называется порождающей матрицей кода С. [53]

Линейные коды допускают более простое задание, чем коды общего типа. Достаточно перечислить образующие группы У. Матрица G ( V) называется порождающей матрицей кода У. [54]

Если две порождающие матрицы имеют одно и то же пространство строк, то они порождают одно и то же множество кодовых слов, хотя и с различными отображениями информационных последовательностей на кодовые слова. Отметим, что если две строки g и g порождающей матрицы переставить местами, то результирующая матрица будет эквивалентна первоначальной. [55]

Пусть А - матрица инцидентности блок-схемы 2 - ( 56, 11 2) ( четыре из которых известны, см. гл. Тогда строки G ( / 5в - 4) порождают ( 112, 56) - бинарный самодвойственный код С. Будем обсуждать лишь тот случай, когда 2 - ( 56, 11, 2) - схема соответствует графу Гевиртца. В этом случае А симметрична, и стало быть ( А / и) также является порождающей матрицей для С. [56]

Страницы: 1 2 3 4