Cтраница 2
Матричный оператор системы со случайными параметрами представляет собой случайную матрицу, которую будем называть стохастическим матричным оператором. Введение понятия стохастического матричного оператора позволяет с единых позиций рассматривать задачи исследования детерминированных и стохастических систем. Это означает, например, возможность использования для решения задач анализа, синтеза и идентификации систем управления, рассматриваемых в классе стохастических систем, многих методов и алгоритмов, разработанных для детерминированных систем. [16]
А - детерминированный матричный оператор, представляющий собой осредненную случайную матрицу стохастического матричного оператора. [17]
Отсюда следует альтернативное определение гауссового ансамбля как ансамбля случайных матриц, для которых функция распределения матричных элементов содержит минимальную информацию при фиксированной дисперсии. [18]
Как было показано в предыдущих главах, теория случайных матриц позволяет с хорошей точностью описать различные универсальные свойства спектров хаотических систем. Такая ситуация имеет место несмотря на то, что в этой теории сделан ряд сильных упрощающих предположений. С одной стороны, крайне удивительно, что одна теория позволяет охватить столь широкий круг различных физических систем - атомные ядра, мезоскопические структуры или микроволновые биллиарды. С другой стороны, это выглядит несколько странно. Если невозможно отличить спектры ядер от спектров квантовых точек, тогда что нового мы можем узнать о них. [19]
При малых L снова получим предсказываемый в теории случайных матриц линейный рост Аз ( Ь) для интегрируемых систем. [20]
Кроме рассмотренных применяется также рекурсивный метод и метод случайных матриц. [21]
Термин побуждает думать, что речь идет о случайных матрицах, но все де-тсрминированно. Просто источником интереса к таким матрицам первоначально была вероятностная задача. [22]
Как нам известно из материалов третьей главы, теория случайных матриц позволяет находить различные спектральные корреляционные функции хаотических систем и, в частности, дисперсию числа уровней, а также спектральную жесткость. С другой стороны, в седьмой главе была получена формула следа Гутцвиллера, устанавливающая связь характеристик спектра квантовой системы с ее периодическими орбитами. [23]
X i; j4Aji ( u) ft) - случайная матрица размера mh X Л а ( ( ш) и A Gfn - 1) - случайные векторы размерности tit и т /, соответственно. Предполагается, что матрицы iD co1) и Л з ( ( в 1) и векторы а; ( со) удовлетворяют требованиям, при которых все интегралы в (5.1) - (5.2) существуют. Заметим, что в условиях (5.2) и (4.7) знаки неравенств противоположны. [24]
В настоящей книге мы не стремились дать подробное изложении терии случайных матриц и ограничились рассмотрением ее фундаментальных положений, знание которых необходимо начинающим. [25]
Ес, при которой наблюдается поведение корреляций, характерное для теории случайных матриц, пропорциональна, как и ожидалось, Я; при е Ес наблюдается другая зависимость - закон Альтшулера-Шкловского. Заметим, что различные степенные законы были получены также для зависящих от масштаба классических диффузионных процессов ( см. гл. [26]
Например, в [16] рассматривается вопрос определения закона распределения собственных значений случайных матриц, что делает возможным нахождение статистических характеристик собственных значений, однако для практических целей часто бывает проще найти приближенные значения D. [27]
После краткого описания опытов с биллиардами различного типа в книге излагается теория случайных матриц и техника суперсимметрии. Рассматриваются системы с периодической зависимостью от времени, а также явление динамической локализации. В рамках теории рассеяния исследуются флуктуации и функции распределения элементов матриц рассеяния хаотических систем. В заключительных главах приведены основные положения квазиклассической квантовой механики, включая теорию периодических орбит. Дан вывод формулы Гутцвиллера и рассмотрены ее приложения. [28]
К настоящему времени выполнены эксперименты, в которых проверялись основные выводы теории случайных матриц. В третьей главе будет проведен детальный анализ таких исследований. [29]
Мы применим теорему РАГЭ в § 5.5 и в главе, посвященной случайным матрицам Якоби. [30]