Cтраница 2
Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы уравнений находятся в оперативной памяти машины. [16]
Очевидно, что все рассмотренные здесь случаи могут быть представлены, как заполненные матрицы S, из которых удалена часть элементов связи. [17]
Существует ( Шуберт ( 1970)) квазиньютоновский метод решения систем нелинейных уравнений со слабо заполненными матрицами Якоби, в котором пересчитывается только часть элементов аппроксимирующих матриц, а остальные тождественно равны нулю. Поправки в его формуле пересчета имеют полный ранг. [18]
Среди рассмотренных в предыдущей части этой главы методов безусловной минимизации были приспособленные к функциям со слабо заполненной матрицей Гессе версии быстро сходящихся универсальных схем и специальные методы, хотя и медленнее сходящиеся по числу итераций, но тем не менее эффективно решающие ряд больших задач благодаря сильному сокращению объема работы на каждой итерации. Конечно, если бы порой за это не приходилось платить слишком много, мы всегда пользовались бы методами с высокой скоростью сходимости, и в этом смысле мы будем называть их идеальными. [19]
Надо отметить, что положение дел с ньютоновскими методами поиска минимума в больших задачах со слабо заполненными матрицами А и G произвольной структуры оставляет желать лучшего. [20]
Трехдиагональные матрицы были выделены в качестве особого предмета еще в 1954 г., когда Уоллес Гивенс предложил приводить малые заполненные матрицы к такой форме в качестве промежуточного этапа при вычислении собственных значений первоначальной матрицы. [21]
Заключительный этап применения метода - решение системы линейных алгебраических уравнений, заменяющей ГИУ, Обычно возникают системы с заполненной матрицей. Их решение при большом числе уравнений сопряжено с определенными трудностями по сравнению с решением систем ленточного типа, с которыми имеют дело в методе конечных элементов. [22]
Метод Гаусса с выбором главного элемента надежен, прост и наиболее выгоден для линейных систем общего вида с плотно заполненной матрицей. Он требует дримерно п2 ячеек в оперативной памяти ЭВМ, так что на БЭСМ-4 можно решать системы до 60 порядка. При вычислениях производится 2 / sn3 арифметических действий; из них половина сложений, половина умножений и п делений. [23]
Собственные значения и собственные векторы Т можно найти со значительно меньшей затратой арифметических опера ций, чем требуется для заполненной матрицы А. [24]
В последующих разделах мы познакомимся с наиболее эффективными методами обоих типов и способами их реализации в случае, когда А - большая слабо заполненная матрица. [25]
Количество новых ненулевых элементов, появляющихся при реализации любого из методов предыдущего раздела, изменится, если переставить строки и столбцы исходной, слабо заполненной матрицы А, прежде чем приступить к ее разложению, Благодаря такой перестановке часто удается существенно сократить объем памяти ЭВМ, требуемый для решения системы. [26]
Среди методов минимизации с вычислением только первых производных целевой функции квазиньютоновские по праву считаются самыми эффективными, если речь идет о задачах небольшой размерности с сильно заполненной матрицей Гессе. Однако для решения больших задач их, к сожалению, приспособить трудно. Чтобы понять, в чем дело, возьмем преобразованную формулу Гольдфарба ( разд. [27]
Теорема о достаточных условиях применимости метода Гаусса, доказанная в этом параграфе, является обобщением результата И.М. Гельфанда и О.В. Локуциевского об устойчивости прогонки на случай систем с заполненной матрицей. [28]
Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших ( п100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а ее определитель не близок к нулю, то метод Гаусса пригоден для решения больших систем уравнений. [29]
К сожалению, эта норма может оказаться бессмысленной в практических задачах; Куртис и Райд ( 1973) заметили, что уравновешивание по бесконечной норме не всегда эффективно, особенно при больших слабо заполненных матрицах. [30]