Cтраница 3
Следующая теорема Гаека и Фельдмана является одной из центральных в теории гауссовских мер. [31]
Разумеется, если гильбертово пространство X сепарабель-но ( что всегда имеет место для радоновских гауссовских мер, как мы увидим ниже), то указанный базис оказывается счетным. [32]
Отметим, что из сходимости ковариационных операторов по равномерной операторной норме не вытекает слабая сходимость соответствующих гауссовских мер. Например, достаточно рассмотреть меры 7 на г, ковариационные операторы которых имеют вид п - 1Рп, где Рп - ортогональная проекция на линейную оболочку первых п векторов стандартного базиса. [33]
Как мы уже знаем из предыдущих глав, стохастические диф-ференциачьные уравнения тесно связаны с нелинейными преобразованиями гауссовских мер. Поэтому естественно возникают вопросы об условиях абсолютной непрерывности распределений диффузионных процессов, а также их переходных вероятностей и инвариантных мер относительно гауссовских мер. При широких предположениях переходные вероятности и инвариантные меры диффузионных процессов на К, заданных уравнением (7.4.8), абсолютно непрерывны относительно стандартной гауссовской меры. [34]
В этом параграфе мы обсудим некоторые часто встречающиеся отображения в бесконечномерных пространствах с точки зрения осуществляемых ими преобразований гауссовских мер. Уже упоминавшийся пример гомотетии х н - 2х дает пример диффеоморфизма, переводящего гауссовскую меру в неэквивалентную. Однако при этом образ-мера - гауссовская и потому возникает вопрос, нельзя ли для всякого диффеоморфизма F и фиксированной гауссовской меры найти ( хотя бы локально) такую гауссовскую меру р, что 7 F - l - Р - Следующие примеры показывают, что это не всегда возможно даже для диффеоморфизмов весьма простого вида. [35]
Здесь уместно отметить, что одна из фундаментальных идей теории гауссовских мер состоит в том, что всевозможные центрированные радоновские гауссовские меры представляют собой различные реализации одной и той же гауссовской меры - счетного произведения стандартных нормальных распределений на прямой. Эта мера 7 определена на пространстве К00 всех вещественных последовательностей с его естественной топологией. Конечно, существуют проблемы, в которых редукция к IR00 бесполезна. Например, так обстоит дело во многих задачах, связанных со свойствами выборочных траекторий гауссовских процессов. Упомянутая выше единственная гаус-совская мера часто встречается также в облике меры Винера на пространстве непрерывных траекторий; при этом возникают очень интересные объекты, не имеющие естественных аналогов в других изоморфных представлениях. [36]
Точно так же доказывается ( см. задачу 3.9.24), что всякая выпуклая функция на X, измеримая относительно всех гауссовских мер, непрерывна. Пример разрывного секвенциально непрерывного линейного функционала показывает, что линейная функция, измеримая относительно всех радоновских гауссовских мер, не обязана быть непрерывной в случае произвольного локально выпуклого пространства. [37]
Если пространство Н бесконечномерно, то мера / j, на X без атома в нуле ff - сферически симметрична, если и только если она есть смесь гауссовских мер / Д определенных посредством / / ( - S) ц1 ( 1 - 1В ], где ц1 - центрированная радоновская гауссовская мера с пространством Камерона-Мартина Н ( см. [ 32, с. Подобной характеризации нет в конечномерном случае, поскольку такая смесь должна иметь положительную плотность. Однако задача 7.5.12 позволяет описать дифференцируемые / / - сферически симметричные меры как в конечномерном, так и бесконечномерном случаях как меры, имеющие логарифмические градиенты, ассоциированные с Н, вида / 3 / / ( х) с ( х) х, где с () - - вещественная функция. [38]
Упомянем здесь несколько открытых проблем, связанных с изложенными выше результатами, ( i) Существует ли липшицева функция / на сепарабельном гильбертовом пространстве Н, у которой множество точек дифференцируемости по Фреше пренебрежимо относительно всех невырожденных гауссовских мер. [39]
Преобразования гауссовских мер при нелинейных отображениях в гильбертовом пространстве / / Допов. Оценки близости гауссовских мер / / Докл. [40]
Доказанная теорема не дает никакого конструктивного способа, чтобы установить, какой из двух случаев имеет место. Количественные критерии эквивалентности гауссовских мер будут получены в главе 6 в контексте абсолютно непрерывных линейных отображений. [41]
Излагается современная теория гауссовских мер. Подробно обсуждаются линейно-топологические свойства гауссовских мер на бесконечномерных пространствах, в том числе различные свойства выпуклости и их применения. Значительное внимание уделено нелинейным преобразованиям гауссовских мер и анализу на гауссовских пространствах. Представлены как функционально-аналитические, так и вероятностные аспекты теории. Рассмотрены приложения в стохастическом анализе и теории случайных процессов. [42]
Хотя в бесконечномерном пространстве ни /, ни V / не имеют смысла по отдельности, оказывается возможным придать смысл их отношению. Мы увидим, что логарифмические градиенты гауссовских мер - это коэффициенты сноса симметризуемых диффузий, заданных линейными стохастическими дифференциальными уравнениями. [43]
Логарифмические производные мер по направлениям введены С.В.Фоминым, рассмотревшим также дифференцируемость гауссовских мер. [44]
Ниже обсуждаются примеры гауссовских мер, показывающие, что не всегда элементы а7 и Л7 ( /) для / задаются векторами пространства X. Однако в следующей главе будет показано, что такое не может случиться для радоновских гауссовских мер. В частности, подобные примеры невозможны для гауссовских мер на сепарабельных банаховых пространствах. [45]