Cтраница 4
Точно так же доказывается ( см. задачу 3.9.24), что всякая выпуклая функция на X, измеримая относительно всех гауссовских мер, непрерывна. Пример разрывного секвенциально непрерывного линейного функционала показывает, что линейная функция, измеримая относительно всех радоновских гауссовских мер, не обязана быть непрерывной в случае произвольного локально выпуклого пространства. [46]
Необходимость оговорки, что речь идет о собственно линейных функциях, видна из того факта, что в типичных ( бесконечномерных) случаях H ( j) имеет 7-меру нуль и потому на этом множестве измеримые функции можно переопределять произвольным образом. С другой стороны, мы увидим, что в бесконечномерном случае существуют линейные функции, не являющиеся измеримыми относительно гауссовских мер. [47]
Как мы уже знаем из предыдущих глав, стохастические диф-ференциачьные уравнения тесно связаны с нелинейными преобразованиями гауссовских мер. Поэтому естественно возникают вопросы об условиях абсолютной непрерывности распределений диффузионных процессов, а также их переходных вероятностей и инвариантных мер относительно гауссовских мер. При широких предположениях переходные вероятности и инвариантные меры диффузионных процессов на К, заданных уравнением (7.4.8), абсолютно непрерывны относительно стандартной гауссовской меры. [48]
Разнообразные геометрические характеристики, порождаемые ковариационными функциями гауссовских процессов ( такие, как метрическая энтропия), имеют глубокие связи с носителями гауссовских мер. [49]
Действительно, пусть Сп - множество тех х, для которых это неверно, и Хп - такая замкнутая гиперплоскость в X, что А Хп TR. X - Хп - естественная линейная проекция и v 7 к-1 - Как мы знаем, на прямых у IR1 еп, у 6 Хп, существуют условные гауссовские меры 7У1 не сосредоточенные в точках. Поэтому для v-почти всех у Хп множество А ь имеет лебеговскую меру нуль. [50]