Cтраница 2
Отсюда ясно, что, зная для каждого климата удвоенную дугу 0Е ( она составляет столько градусов, на сколько временных градусов продолжительность дня равноденствия превышает продолжительность наименьшего дня), стягивающую ее прямую и ее отношение к прямой, стягивающей удвоенную дугу 0Е, мы будем знать и эту стягивающую прямую, и удвоенную дугу ЕЛ. Если ее половину, т.е. саму дугу ЕЛ, равную упомянутой разности, вычесть из времени восхода в прямой сфере соответствующей дуги зодиакального круга, мы получим время восхода той же самой дуги для заданного климата. [16]
Для такой же дуги, отстоящей на 20 градусов, удвоенная дуга КЛ составит 15 54 6 градусов, а стягивающая ее прямая - 16 35 56 частей, удвоенная KZ составит 164 5 54 градуса, а стягивающая ее прямая - 118 50 47 частей. [17]
Сохраняя обозначения предыдущего упражнения, показать, что последовательные повороты, представляемые удвоенными дугами АВ, ВС... КА, приведут тело в начальное его положение. [18]
Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой ГЕ к прямой под удвоенной дугой ЕА складывается из отношения прямой под удвоенной дугой rZ к прямой под удвоенной дугой ТА и отношения прямой под удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной дугой ВА. [19]
Предположим теперь, что дуга ЕН равна 60 градусам, так что при остальном неизменном удвоенная дуга ZH станет равной 138 59 42 градусам, а стоящая под ней прямая - 112 23 56 частям, удвоенная же дуга 0Н - 41 0 18 градусам, прямая же под ней - 42 1 48 частям. Но стоящая под удвоенной дугой ЕА прямая равна 120 частям. [20]
Из этой теоремы вытекает одно очень важное следствие: если известны сумма дуг и отношение хорд удвоенных дуг, то можно определить каждую из них. [21]
На основании того же самого определится и дуга ЕН горизонта, так как задано отношение прямой под удвоенной дугой ZA к прямой под удвоенной АВ, складывающееся из заданного отношения прямой под удвоенной Z0 к прямой под удвоенной ЭН и из отношения прямой под удвоенной НЕ к прямой под удвоенной ЕВ. [22]
Но удвоенная дуга ZB составляет 154; 14 градуса, а стягивающая ее прямая - 116 59 частей, удвоенная дуга ВА составляет 180 градусов, а по стягивающая ее прямая - 120 частей. И далее, удвоенная дуга Z0 равна 182 50 градусам, а стягивающая ее прямая - 119 58 частям, удвоенная дуга ЭН равна 155; 14 градусам, а стягивающая ее прямая - 117; 12 частям. Но прямая, стягивающая удвоенную дугу ЕА, составляет 120 частей, и, следовательно, прямая, стягивающая удвоенную дугу ЕН, будет равна 114; 16 таким же частям, так что удвоенная дуга ЕН будет равна приблизительно 144 26 градусам, сама же ЕН - 72; 13 таким же градусам. Таким образом, получающаяся в остатке дуга АН равна недостающим до четверти окружности 17 47 градусам, что и требовалось доказать. [23]
Точно так же для точки, удаленной на 10 градусов от точки весеннего равноденствия в направлении к точке зимнего солнцеворота, удвоенная дуга КЛ равна 8 3 16 градусам, а стягивающая ее прямая - 8 25 39 частям; удвоенная дуга KZ будет составлять 171 56 44 градус, а стягивающая ее прямая - 119 42 14 частей. [24]
Но согласно изложенному выше удвоенная дуга ГА равна 62 40 градусам, а стягивающая ее прямая составляет 62 24 части; удвоенная дуга AZ равна 180 градусам, а стягивающая ее прямая - 120 частям. Далее, удвоенная дуга ГЕ равна 155 22 градусам, а стягивающая ее прямая - 117 14 частям. Удвоенная дуга ЕН равна 180 градусам, а стягивающая ее прямая - 120 частям. Но прямая, стягивающая удвоенную дугу 0Z, составляет 120 частей, и, следовательно, прямая, стягивающая удвоенную дугу 0Н, составит 63 52 такие же части. Таким образом, удвоенная дуга 0Н будет равна 64 20 градусам, а сама дуга 0Н, а также угол НЕ0 равны таким же 32; 10 градусам. [25]
Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой ГЕ к прямой под удвоенной дугой ЕА складывается из отношения прямой под удвоенной дугой rZ к прямой под удвоенной дугой ТА и отношения прямой под удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной дугой ВА. [26]
Удвоенная дуга ЕА равна 180 градусам, стоящая же под ней прямая - 120 частям, и, следовательно, прямая под удвоенной дугой 0Е равна 56 1 5371 таким же частям. Поэтому удвоенная дуга ЭЕ равна приблизительно 55 40 градусам, а сама дуга ЭЕ - 27 50 градусам. [27]
Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой ГЕ к прямой под удвоенной дугой ЕА складывается из отношения прямой под удвоенной дугой rZ к прямой под удвоенной дугой ТА и отношения прямой под удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной дугой ВА. [28]
Действительно, на основании доказанного в первых книгах этого сочинения, две дуги больших кругов АН и AN пересечены дугами больших кругов НЛ и NZ, и отношение стягивающей удвоенную дугу НА к стягивающей удвоенную AZ складывается из отношения стягивающей удвоенную дугу НЛ к стягивающей удвоенную ЛЭ и отношения стягивающей удвоенную дугу N0 к стягивающей удвоенную ZN. Но каждая из дуг AZ, ZN и НК будете равна четверти окружности, и по каталогу звезд будут известны дуги КЭ широты и KB на основе долготы, а поскольку известен наклон зодиакальной линии, то будут заданными и дуги ZH и КЛ. [29]
Теперь, так как на чертеже в две дуги AZ и АЕ больших кругов вписаны две другие, Z0 и ЕВ, пересекающиеся друг с другом в точке Н, то отношение прямой под удвоенной дугой ZA к прямой под удвоенной АВ складывается из отношения прямой под удвоенной 0Z к прямой под удвоенной ЭН и отношения прямой под удвоенной НЕ к прямой под удвоенной ЕВ. Но удвоенная дуга ZA равна 180 градусам, а стоящая под ней прямая - 120 частям, удвоенная же дуга АВ в соответствии с принятым нами отношением 11 к 83 равна 47 42 40 градусам, а стоящая под ней прямая - 48 31 55 частям. И далее, удвоенная дуга НЕ равна 60 градусам, а стоящая под ней прямая - 60 частям, удвоенная же дуга ЕВ равна 180 градусам, а прямая под ней - 120 частям. Удвоенная дуга Z0 равна 180 градусам, а стоящая под ней прямая - 120 частям. Следовательно, прямая под удвоенной дугой ЭН равна 24; 15 57 таким же частям. [30]