Cтраница 4
Главное в идейной стороне метода - зависимость между значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и их значениями на границе. Эта зависимость устанавливается переходом от дифференциальных уравнений к следующим из них интегральным соотношениям. Последовательное использование этой идеи приводит к замене дифференциальных уравнений, требующих нахождения неизвестных функций во всей области, на эквивалентные ( в определенном смысле) интегральные уравнения, в которые в качестве неизвестных входят значения функций только на границе области. Поэтому метод граничных элементов, который по сути представляет собой численную реализацию решения таких уравнений, часто называют методом граничных интегральных уравнений. Оба названия в настоящее время равноправны и нередко используются специалистами как синонимы. Хотя подобное обозначение одного понятия разными именами и создает некоторые неудобства, призывы оставить только одно из двух названий пока что успеха не имели. [46]
Речь идет также о методе дискретизации, который появился в последнее время наряду с методом конечных элементов и успешно применяется для решения задач теории упругости. Суть метода состоит в том, что основные уравнения теории упругости, которые описывают поведение неизвестных функций внутри и на границе рассматриваемой области, сводятся к интегральному уравнению. Неизвестные граничные значения связаны с известными значениями на контуре области через граничное интегральное уравнение. Развитием этой работы явился метод интегральных уравнений Риццо [47] для плоских задач теории упругости, который позднее был распространен Крузом [48] на пространственные задачи. Однако следует упомянуть об особом преимуществе метода граничных интегральных уравнений. А именно, в отличие от метода конечных элементов в методе граничных интегральных уравнений должна дискретизироваться только поверхность рассматриваемого упругого тела. Благодаря этому получается существенно меньше узловых точек и подлежащих определению неизвестных, чем в сетке из конечных элементов. [47]
Для реализации метода граничных элементов необходима матрица фундаментальных решений исходной системы уравнений. В линейных задачах теории упругости и теории пластин фундаментальные решения имеют простой вид, и поэтому метод здесь получил широкое распространение. Для пологих оболочек матрица фундаментальных решений определяется сложными громоздкими выражениями, а для пологой сферической оболочки выражается через специальные функции. Поэтому исследований по решению задач теории пологих оболочек методом граничных элементов мало. В связи с этим актуальной темой исследования является разработка методов граничных интегральных уравнений для решения линейных и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанных на применении фундаментальных решений, которые определяются простыми аналитическими выражениями. [48]
Метод граничных элементов ( МГЭ) - это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом: дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде ( точно или приближенно) фундаментальные решения ( или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений si исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения ( ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно ( более раннее) название МГЭ - метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [49]
Хорошо известно, что интегральное уравнение теории потенциала вывел Георг Грин ( Green G. Широкое применение получил метод интегральных граничных уравнений, ведущий свое начало от исследования Фредгольма ( Fredholm I. Более ранняя публикация относится к 1953 г.: Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории установившихся колебаний. Купрадзе прямая и позднее непрямая [47] формулировки задачи, а также доказательство их эквивалентности показали возможности метода граничных интегральных уравнений. Связь этого метода с методом граничных элементов описана в статье К. [50]