Cтраница 3
Таким образом, мы видим, что принципиально релятивистская механика также может быть построена на основе метода Гамильтона. [31]
Только благодаря тому, что мы взяли элементы невозмущенной задачи как раз в форме, которую дает метод Гамильтона, мы смогли так упростить дифференциальные уравнения, что в каждое из них входит только одна производная от возмущающей функции и что коэффициент при этой производной приводится к положительной или отрицательной единице. Этот выбор элементов имеет огромную важность; поэтому при определении движения планет по методу Гамильтона мы подробно выяснили геометрическое значение введенных там произвольных постоянных. [32]
Это - не обычное выражение, в котором Н есть квадратичная функция от р, но тем не менее метод Гамильтона - Якоби остается справедливым. [33]
Рассмотрим задачу о точке, движущейся по гладкому вращающемуся стержню ( см. пример 5.10), и ее решение методом Гамильтона - Якоби. [34]
По сравнению с большей частью книг, на которые мы ссылались в предыдущей главе, книга Борна выделяется обилием материала по применению метода Гамильтона - Якоби и переменных действие - угол. Много-периодические движения и теория возмущенного движения изложены здесь, несомненно, полнее, чем в других книгах на эту тему, написанных на английском языке. [35]
Хотя в продажу поступает хорошая марка ионита амберлит IRC-50, для хроматографических целей продажную смолу рекомендуется просеивать через сито на 200 меш или использовать метод Гамильтона ( см. стр. [36]
Метод Лагранжа - Понтрягина сводит задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных ( или рекуррентных) уравнений порядка 2, тогда как метод Гамильтона - Якоби - Беллмана ставит в соответствие задачу Коши для уравнений в частных производных ( или рекуррентного функционального уравнения) относительно функции ср ( /, х) от п переменных. В этом отношении метод Гамильтона - Якоби - Беллмана значительно сложнее. [37]
Теперь мы показали, что уравнения, описывающие движение одной заряженной частицы в электромагнитном поле, могут быть выведены как методом Лагранжа, так и методом Гамильтона. Как ранее упоминалось, применение этих методов к системе заряженных частиц или к случаю движения под влиянием каких-либо других факторов, таких, как гравитационное поле, никоим образом не является простым. [38]
Изложенный метод нахождения процесса ( х ( /), й ( /)) при априорных ограничениях, наложенных на функцию ф ( /, х), называется методом Гамильтона - Якоби - Беллмана. В этом случае процесс ( х ( /), й ( 0) является оптимальным. [39]
При прямом применении уравнений Гамильтона математические трудности решения задач механики обычно существенно не уменьшаются, так как при этом нам приходится иметь дело с такими же дифференциальными уравнениями, как и в методе Лагранжа. Преимущества метода Гамильтона заключаются не в его математической ценности, а в том, что он более глубоко проникает в структуру механики, так как равноправность координат и импульсов как независимых переменных предоставляет большую свободу для выбора величин, которые мы принимаем за координаты и импульсы. В результате мы приходим к новым, более абстрактным формам изложения физической сущности механики. Хотя полученные таким путем методы могут оказать некоторую помощь при решении задач механики, однако с современной точки зрения их главная ценность состоит в том, что они играют существенную роль в построении новых теорий. В частности, именно эти абстрактные концепции классической механики были исходными пунктами в построении статистической механики и квантовой теории. Изложению такого рода концепций, получающихся из уравнений Гамильтона, и посвящаются эта и следующая главы. [40]
В данном случае метод Гамильтона - Якоби оказывается гораздо сложнее, чем непосредственное интегрирование уравнения движения, которое произведено в § 7 главы I. Действительная польза метода Гамильтона - Якоби проявляется полностью лишь для сложных систем небесной или атомной механики, где он является весьма ценным вспомогательным средством. [41]
Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к меха - Ешке, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Поэтому часто можно встретить в литературе термин теория Гамильтона - Якоби, но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона - Якоби - Остроградского. [42]
В качестве примера применения метода Гамильтона - Якоби мы подробно рассмотрим задачу о гармоническом осцилляторе с одной степенью свободы. [43]
Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона - Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системьк а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу: привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы. [44]
Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона - Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона - Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори - Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона - Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения - неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. [45]