Cтраница 4
Из содержания предыдущего параграфа может показаться, что метод Гамильтона - Якоби не имеет практических преимуществ, так как вместо решения 2 / г обыкновенных дифференциальных уравнений он требует решения дифферециального уравнения в частных производных, что, как известно, сложнее. Однако при некоторых условиях переменные уравнения Гамильтона - Якоби можно разделить, и тогда решение задачи удается свести к квадратурам. Именно в этом случае метод Гамильтона - Якоби становится полезным в практическом отношении. [46]
В заключение необходимо подчеркнуть, что создание аналитической механики неголономных систем по аналогии с тем, что имеет место для голономных систем, натолкнулось на ряд и сейчас непреодоленных препятствий. Характерным примером могут служить трудности, возникшие лри обобщениях метода Гамильтона - Якоби на неголономные системы. [47]
Метод Гамильтона - Якоби - Беллмана применим только к задаче без ограничений на состояние при t t0, в том числе и лишь к задаче со свободным правым концом. Если заданы ограничения на состояние, то для применения метода Гамильтона - Якоби - Беллмана необходимо преобразовать данную задачу при помощи штрафных функций в некоторую эквивалентную задачу без ограничений. [48]
Необходимо отметить одну особенность, а именно существование во многих случаях циклических ( или игнорируемых) координат, допускающее простое получение первых интегралов соответствующих уравнений движения. Это вводит важное усовершенствование, котороебудет подробнее рассмотрено в следующей главе в связи с методом Гамильтона. [49]
Хотя это может показаться странным, но новая волновая механика также связана с теорией Гамильтона - Якоби. Подобно тому как зародышем матричной механики являются классические скобки Пуассона, зародыш волновой механики можно увидеть в связи метода Гамильтона - Якоби с геометрической оптикой. [50]