Cтраница 3
Метод Гаусса позволяет построить экономичный алгоритм, поскольку элементы матрицы преобразуются по достаточно простым формулам и значения преобразованных элементов представляют собой текущие значения тех же переменных, что и значения элементов исходной матрицы. [31]
Метод Гаусса конечен, и теоретически с его помощью можно решить любую систему линейных алгебраических уравнений, в то время как для системы уравнений, решаемой итерационными методами, требуется обеспечить условия сходимости. Поэтому, если для решения системы итерационными методами требуется менее п итераций, то эти методы предпочтительнее метода Гаусса. [32]
Метод Гаусса - Зейделя состоит в последовательном изменении каждой из переменных на входе объекта при условии сохранения за это время постоянного значения остальных входных величин. [33]
Метод Гаусса - Зейделя требует большого количества опытов. [34]
Метод Гаусса является одним из самых быстродействующих прямых методов. Основная его идея известна читателю еще по тем началам линейной алгебры, которые даются в средней школе. Берется одно из уравнений системы, все неизвестные, кроме одного, переносятся в правую часть, далее уравнение делится на коэффициент перед неизвестным Xi в левой части и полученное выражение Xi подставляется в остальные ( п - 1) уравнения. Эти уравнения представляют собой новую систему с числом неизвестных на единицу меньшим, чем в исходной системе, после чего процесс повторяется. После того как система сведется к одному уравнению с одним неизвестным, находится это неизвестное и далее с помощью всех промежуточных выражений для каждого л:, на i-том шаге ( через оставшиеся неизвестные) находятся обратной подстановкой все неизвестные. [35]
Метод Гаусса легко реализуется на ЭВМ, так как сводится к некоторому числу простых однотипных операций. Он не требует памяти вычислительной машины кроме той, в которой хранятся коэффициенты матрицы и правые части системы. [36]
Метод Гаусса легко обобщается на одновременное решение нескольких систем, отличающихся столбцами свободных членов, а также на отыскание матрицы, обратной к А. Одновременно с решением системы уравнений может быть вычислен определитель матрицы А. [37]
Метод Гаусса широко используют в случае матрицы А общего вида. Для уравнений со специальными матрицами существуют более экономичные методы. Один из них - метод прогонки - применяют для решения системы с трехдиагональными матрицами А. Он изложен в предыдущем параграфе. В прямом ходе метода прогонки уравнения приводятся к виду (1.57), в результате матрица системы будет треугольной. [38]
Метод Гаусса - Жордана имеет те же модификации, что и метод Гаусса ( с выбором главного элемента, главного элемента по строке, главного элемента по столбцу), причем соответствующий элемент выбирается из той же части матрицы Л, как и в методе Гаусса. [39]
Метод Гаусса хорош тем, что он всегда ведет к цели. Однако иногда можно решать системы линейных уравнений значительно быстрее, чем методом Гаусса, используя частные особенности системы. [40]
Метод Гаусса с выбором главного элемента позволяет вычислить определитель ( если последний не равен нулю) по формуле ( 20), в правой части которой стоит произведение главных элементов и добавлен множитель ( - l) v, где v - сумма номеров, переставляемых в прямом ходе строк и столбцов на всех шагах приведения матрицы к треугольному виду. Если же определитель равен нулю, то это обстоятельство выяснится при вычислениях, так как на некотором шаге появится равный нулю главный элемент. [41]
Метод Гаусса - Жордана имеет те же модификации, что и метод Гаусса ( с выбором главного элемента, главного элемента по строке, главного элемента по столбцу), причем соответствующий элемент выбирается из той же части матрицы А, как и в методе Гаусса. [42]
Метод Гаусса можно применять тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы А отличны от нуля. [43]
Метод Гаусса с выбором главного элемента надежен, прост и наиболее выгоден для линейных систем общего вида с плотно заполненной матрицей. Он требует дримерно п2 ячеек в оперативной памяти ЭВМ, так что на БЭСМ-4 можно решать системы до 60 порядка. При вычислениях производится 2 / sn3 арифметических действий; из них половина сложений, половина умножений и п делений. [44]
Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. [45]