Cтраница 2
Дедекинд, как и Евдокс более чем за 2000 лет до него, характеризует неотрицательное действительно число а. Для него любое произвольно построенное ( непустое) множество а дробей ( удовлетворяющее определенному условию, а именно - что оно наряду с любой дробью b содержит любую дробь Ь) порождает соответствующее действительное число а. [16]
Основным недостатком как гипотезы Евдокса, так и ее улучшенных вариантов было то, что, согласно гомоцентрической моделк, расстояния планет от Земли предполагаются неизменными. [17]
Остроумно используя теорию пропорций Евдокса, Архимед вычислил площади и объемы многих фигур и тел различной формы, например, сферы и более сложных геометрических форм, в том числе парабол или спиралей. Ныне для этих целей мы использовали бы дифференциальное и интегральное исчисление, но Архимед жил и творил примерно за 19 веков до создания математического анализа, разработанного Ньютоном и Лейбницем. Можно было бы сказать, что добрая половина - интегральная половина - математического анализ была известна еще Архимеду. [18]
Основным недостатком как гипотезы Евдокса, так и ее улучшенных вариантов было то, что согласно концентрической модели расстояния планет от Земли предполагаются неизменными. [19]
Изобретение метода исчерпывания приписывается Евдоксу Книдскому ( 4 в. Во всяком случае, он проходит в качестве основного приема доказательства через всю 12 - ю книгу Начал Евклида ( 3 в. [20]
Древнегреческим ДО н.э. астрономом Евдоксом Книдским ( 408 - 355до н.э.) построена первая обсерватория. Им же предложена первая система, объясняющая движение планет, согласно которой концентрическиехрустальные сферы движутнебесныетела вокруг Земли. [21]
Эту аксиому фактически впервые высказал Евдокс; она содержится в V книге Начал Евклида в виде ( четвертого) определения. [22]
Статьи: Дитрих Фрейбергский, Евдокс Книдский, Иероним, Иоанн Грамматик. [23]
Гиппарх сознавал, что схема Евдокса, в которой небесные тела прикреплены к сферам, вращающимся вокруг общего центра - центра Земли, не позволяет истолковать результаты многих его собственных наблюдений и наблюдений других греческих астрономов. Вместо гомоцентрических сфер Евдокса Гиппарх предположил, что планета Р ( рис. 20) движется с постоянной скоростью по окружности ( эпициклу), центр которой Q перемещается с постоянной скоростью по другой окружности, в центре которой находится Земля. [24]
Современной операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. Составить пару отношений А: В и В С - значит найти отношение А С, составленное. В V книге устанавливаются основные свойства отношений и их составления. Вышеприведенное определение отношений было, вероятно, подсказано Ев-доксу как свойствами отношений соизмеримых величин, так и рассмотрением процесса измерения непрерывных геометрических величин. Целесообразность этого определения, конечно, можно проверить на разных примерах. О том, что некоторые математики неправильно его понимали, свидетельствует случай с французским ученым XVI в. [25]
Важность этого принципа, восходящего к Евдоксу и Архимеду, трудно переоценить. Он верен и в неполной булевой алгебре. [26]
И здесь новая идея была предложена Евдоксом ( ок. Для древних греков было важно иметь возможность формулировать их геометрические меры ( отношения) в терминах ( отношений) целых чисел, чтобы оперировать геометрическими величинами в соответствии с правилам арифметики. Евдоксу удалось сформулировать в рамках операций над целыми числами такие критерии, которые позволяли решать, является ли одно из отношений длин больше другого или их можно считать в точности равными. [27]
Однако, между теориями, предложенными Евдоксом с одной стороны, и Деде-киндом и Вейерштрассом - с другой, существует важное различие. Древним грекам было необходимо иметь возможность описывать геометрические величины арифметически, чтобы затем в рамках законов и правил арифметики проводить строгие рассуждения над этими геометрическими величинам, а также их суммами и произведениями - существенными составляющими столь многих замечательных геометрических теорем древних. На рис. 5.3 в качестве иллюстрации приведена знаменитая теорема Птолемея, хотя Птолемей открыл ее гораздо позже эпохи, в которую жил Евдокс. [28]
Шар и цилиндр; ранее ее применял Евдокс Книдский, поэтому иногда А. [29]
Гиппарху, северные ветры заканчиваются; согласно Евдоксу, дождь, гроза, северные ветры за канчиваются. [30]