Cтраница 4
Например, по свидетельству Архимеда, Демокрит открыл, что объем конуса или пирамиды составляет треть объема цилиндра или призмы с теми же основаниями и высотой, а первое доказательство этого факта дал Евдокс. [46]
Известно, что открытие несоизмеримости в школе Пифагора привело греческих ученых не к расширению понятия числа, а к сведению вопросов арифметики и алгебры к геометрическим задачам, к изображению чисел и непрерывных величин с помощью отрезков и прямоугольников, к созданию геометрической теории отношений Евдокса и к геометрической алгебре. В древнегреческом геометрическом исчислении, изложенном в Началах Евклида, сложение и вычитание величин сводится к таким же операциям над отрезками, умножение величин - к построению прямоугольника на соответствующих отрезках, деление - к операции приложения геометрических фигур. Геометрическая алгебра, сыгравшая известную роль в развитии математики, стала из-за ограниченности своих средств тормозом в развитии алгебры в XVI-XVII вв. И если алгебра Виета еще тесно связана с геометрией и в ней по евклидовому образцу строго соблюдается принцип однородности, согласно которому нельзя складывать, например, площадь с линией, и если Виету нужно было образовать выражение вида ab с, он указывал, например, что а и b - линии, ас - плоская фигура, или а - линия, b - плоская фигура, ас - тело, то уже Декарт в своем стремлении, с одной стороны, освободить алгебру от подчинения геометрии, а с другой - открыть путь в геометрию числовой алгебре по-новому строит исчисление отрезков. [47]
Вторая сфера, на которой расположена наклонная к плоскости эклиптики орбита Луны, участвуя в движении первой, вращается вокруг полюсов эклиптики. Этим Евдокс объясняет отступание узлов лунной орбиты. Третья сфера, на которой расположена Луна, вращается вокруг полюсов лунной орбиты, участвуя, таким образом, в движении обеих внешних сфер. [48]
Первое теоретическое обобщение и обоснование методов вычисления площадей и объемов, в которых неявно использовались предельные переходы, было дано величайшим греческим математиком IV в. Метод Евдокса был назван в XVII в. [49]
Но меньшей мере три больших математика этого периода были связаны с Академией Платона, а именно Архнт, Теэтет ( ум. Имя Евдокса связано с теорией отношений, которую Евклид дает в своей пятой книге, а также с так называемым методом исчерпывания, который позволил строго проводить вычисление площадей и объемов. Это означает, что именно Евдокс преодолел кризис в греческой математике и что его строгие формулировки помогли определить направление развития греческой аксиоматики и, в значительной мере, всей греческой математики. [50]