Cтраница 3
Так, Аристотель открыто опровергал платоновскую теорию идей, а Евдокс обосновывал ге-донистич. Схолархами ( главами школы) Древней Академии после Платона ( ок. Спевсипп Афинский ( с 347), Ксенократ из Халке-дона ( с 339), Полемон ( с 314), Кратет Афинский ( ок. Кратета и Полемона был Крантор, занимавшийся комментированием диалогов Платона. [31]
Плутарх в Жизни Марцелла сообщает, что знаменитые современники Платона Евдокс и Архит прибегали к физическим аргументам при доказательстве математических результатов. [32]
Вероятно, это хорошо было известно Евклиду ( или даже Евдоксу), и он вполне сознательно исключает подобные системы величин посредством своей аксиомы. [33]
Так что в данном случае Евклид ( или, пожалуй, уже и Евдокс) поступает в основном так же - и это как раз и поразительно, - как поступают в современных исследованиях понятия числа, и при этом Евклид пользуется в точности теми самыми вспомогательными средствами, которыми пользуемся и мы теперь. [34]
Известно, что предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности, к временам Евдокса, Евклида и Архимеда ( IV и ПГ вв. Ньютона и Лейбница в анализе тоже больше всего было сделано в области интегрального исчисления. Неделимые Кеплера и Кавальери, задачи на квадратуры и кубатуры подготовили почву для возникновения понятия определенного интеграла. Ферма, Паскаль, Валлис и Барроу фактически вычислили ряд простейших интегралов. Значительно меньше было сделано до Ньютона и Лейбница в области дифференциального исчисления. [35]
Конец изложенного рассуждения показывает, каким образом Архимедом был развит и усовершенствован метод исчерпывания Евдокса. Начало же этого рассуждения показывает, что Архимед владел и приемами, к-рые были отнесены выше ко второй группе и к-рые по своему идейному замыслу соответствуют современному интегральному исчислению. [36]
Современная теория ирацпонального числа, построенная Дедекнндом и Веыерштрассом, почти буквально следует ходу мыслей Евдокса, но она открывает значительно более широкие перспективы благодаря использованию современных математических методов. [37]
Но в действительности, предложенная ими процедура опиралась на те же идеи, которые были открыты Евдоксом примерно двадцатью двумя столетиями раньше. Сейчас нам не обязательно заниматься подробным изучением этой современной теории. Я кратко коснулся ее основных моментов в главе 3 ( на с. В действительности, десятичное разложение была введено Стевином в 1585 году. Следует также заметить, что хорошо знакомая нам десятичная запись была неизвестна древним грекам. [38]
Доказательство этой теоремы, как и многих других теорем, включенных Евклидом в свои Начала, приписывается Евдоксу. [39]
То, что это действительно вставка, не подлежит никакому сомпеншо-ввиду абсурдности доказательства, неумело подражающего классическим образцам метода Евдокса; кроме того, очевидно, что этому результату совсем не место в конце Книги VI. XXIV); и это спустя шесть веков после нахождения Архимедом площади секторов спиралей. [40]
Так, перевод книги Скиапарелли послужил толчком для оригинального решения вопроса о гиппопеде - кривой, служившей, по Евдоксу, траекторией видимых движений планет, - наиболее темного места в модели гомоцентрических сфер. Это решение И.Н.Веселовский изложил в докладе Неевклидова геометрия в древности, прочитанном на XIII Международном конгрессе по истории науки, проходившем в Москве в августе 1971 г. Представляет интерес его периодизация сочинений Архимеда, опубликованная во вступительной статье к их изданию. [41]
Первыми примерами использования методов, которые сейчас относят к интегральному исчислению, были методы решения геометрических задач, предложенные Евдоксом и Архимедом. [42]
Хотя идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек, составляющих линию, и множеством вещественных чисел имеет свои корни в теории несоизмеримых Евдокса, восходящей к IV столетию до нашей эры, открытие координатных систем совершилось лишь в первой половине XVII века. Понятие строгости зависит всецело от условностей, диктуемых господствующим вкусом, которому и дано на определенный хронологический период утверждать меру требовательности в определении степени математической строгости. Плодотворные интуитивные концепции преобразуются обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том, Какие понятия следует относить в категорию концепций, допускающих определение, и какие остаются неопределимыми, либо путем введения в математические теории новых форм логических процессов, по возможности свободных от противоречий. [43]
У Евклида имеются места, построенные аксиоматически в современном смысле, например учение о пропорциональности и подобии в 5 - й и 6 - й книгах, приписываемое Евдоксу; оно соответствует тому, что ныне мы назвали бы теорией действительных чисел; но есть и другие места, в которых дедуктивная структура очень слаба, - мы не должны забывать, что Евклид был главным образом компилятором. И все же дедуктивная структура Начал в течение двух тысяч лет вызывала восхищение и многочисленные. [44]
Такая дробь, лежащая между действительными числами а / Ь и с / а при условии, что а / Ь c / d, может быть найдена всегда, поэтому критерий Евдокса действительно выполняется. [45]