Cтраница 3
У Евклида имеется теорема, которая перешла в большинство наших элементарных учебников, а именно: все прямые углы конгруэнтны между собой; каждый учащийся, конечно, готов считать это положение самоочевидным, и я полагаю, что в школе действительно можно умолчать о нем, так как все равно школьник не в состоянии постичь заключенной в нем идеи. Но его действительный смысл в точности совпадает с содержанием наших последних рассуждений, а именно: равные углы, определенные с помощью поворотов около различных точек, можно привести к взаимному наложению с помощью движений, другими словами, они конгруэнтны между собой. [31]
Начал Евклида, которое долго и широко разделялось математиками всего мира. [32]
Для Евклида и Евдокса основную трудность при выводе объема пирамиды представляло доказательство того факта, ято объемы двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями равны. [33]
Начал Евклида, именно: точки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами принадлежит, между, конгруэнтен. [34]
У Евклида углы сравниваются, складываются, вычитаются. О равенстве углов говорится так же, как о равенстве отрезков; если угол понимается как часть плоскости, равенство углов следовало бы понимать в смысле наложимости. Евклид позволяет себе складывать углы, получая суммы более двух и даже четырех прямых углов; то, что получается, уже не является углами в их первоначальном смысле. Отсутствие углов, больших, чем тупые, ведет к всяческим трудностям, например в теореме о центральных и вписанных в круг углах, если вписанный угол прямой или даже тупой. Однако чувствуется, что понятие угла у Евклида достаточно прочное. [35]
Влияние Начал Евклида было столь фундаментальным, что никаких других формулировок геометрии не было предложено вплоть до Декарта. Введение последним координат позволило выразить геометрические задачи алгебраически, вымостив путь к изучению высших плоских кривых и ньютоновскому анализу. Координаты позволили резко повысить вычислительные возможности, соединив две великие области математики и дав начало возрождению конструктивистского мышления. Теперь появилась возможность получать новые геометрические объекты, решая связанные с ними алгебраические уравнения. [36]
Начиная от Евклида и кончая Лежандром ( я называю наиболее выдающегося из новейших исследователей основ геометрии), ни математиками, ни философами из числа занимавшихся интересующим нас вопросом упомянутые неясности не были устранены. Причина этому обстоятельству, как я полагаю, заключается в том, что общая концепция многократно протяженных величин, к которым относятся пространственные величины, оставалась вовсе не разработанной. [37]
Оказывается, у Евклида были веские причины избегать картинок. Его переполняло желание вывести всю геометрию чисто логически из нескольких простых основных принципов. [38]
Архимедова аксиома у Евклида; отступление о роговидных углах как о неархимедовой системе. [39]
Алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно, в геометрическом виде. [40]
Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратоефен и Аполлоний Пергский. [41]
О таких аналогах у Евклида нигде не упоминается, намеки на них появляются у его комментаторов в XVI-XVII вв. [42]
Заметим, что у Евклида пропорция называется Analogia; это слово должно означать: Logos двух пар величин один и тот же. [43]
Великое историческое значение Начал Евклида состоит в том, что они передали последующим временам идеал полной ( не имеющей пробелов) логической обработки геометрии. [44]
В дальнейшем своем изложении Евклид всегда особенно тщательно проводит доказательства тех теорем, в которые по самой природе вопроса входят иррациональные числа, со строгостью, удовлетворяющей даже теперешним нашим требованиям ( доказательства по методу исчерпывания. Лежандр же бегло скользит мимо всех этих пунктов. Числа - как рациональные, так и иррациональные - он считает известными из арифметики, в которой тогда тоже не слишком много ломали себе голову над их строгим обоснованием. Доказательство по методу исчерпывания и тому подобного он не признает; ему представляется совершенно очевидным без всяких пояснений, что предложение, справедливое для всех рациональных чисел, справедливо также и в случае чисел иррациональных. Впрочем, и в этом отношении Лежандр сходится со всеми другими великими математиками своего времени. [45]