Cтраница 2
В этой главе книги исследуется методами вариационного исчисления ряд задач динамики полета ракет и самолетов с ракетными двигателями, причем выделяемые классы оптимальных движений допускают простые аналитические решения. Учитывая, что для многих преподавателей классической механики излагаемые здесь научные результаты могут представить интерес для самостоятельных исследований, мы даем достаточно ссылок на основные журнальные статьи и монографии. Мы убеждены, что в процессе развития науки и техники вычислительные машины будут решать все более сложные системы дифференциальных уравнений и метод проб, метод сравнения семейств решений можно будет применять к любому числу свободных функций. [16]
Такими методами являются так называемые прямые методы вариационного исчисления, в основе которых лежит следующая идея, применявшаяся уже Эйлером в середине XVIII века. [17]
Решение практических задач обработки металлов давлением методами вариационного исчисления представляет непреодолимые математические трудности. Применением приближенных, так называемых прямых, методов вариационного исчисления удается решить большое число задач. [18]
К аналогичному выводу можно прийти, применив методы вариационного исчисления. [19]
Математический аппарат современной теории оптимального управления включает методы вариационного исчисления, принципа максимума и динамического программирования. [20]
Более того, в ряде нелинейных динамических задач методы вариационного исчисления позволяют получить простые аналитические зависимости ( опорные решения), так как для оптимальных режимов полета уравнения движения интегрируются в конечном виде. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач допускают интеграцию в квадратурах. [21]
Условие равновесия ( минимум свободной энергии) находят методами вариационного исчисления. Для точки, находящейся на периметре смачивания, условие равновесия имеет вид [5]: - сгшгг / [ 1 ( О2 ] / 2 0тг - Отж - Поскольку в этой точке г ctga, получаем cos a - ( сгтг - атж) / сгшг. [22]
Для решения задач поиска оптимальных алгоритмов управления находят применение методы вариационного исчисления. Наибольшей простотой характеризуется прямой вариационный метод [10], существо которого состоит в следующем. [23]
Мы считаем, что при изложении современной динамики нужно систематически методами вариационного исчисления и функционального анализа выявлять наиболее характерные классы оптимальных нестационарных движений, исследовать их аналитически, определять влияние малых изменений доминирующих параметров на интегральные характеристики движения и создавать наборы решений нелинейных задач механического движения, имея которые легче понять по существу основные закономерности самых трудных, нестационарных динамических проблем. Это очень важно для повышения научного уровня преподавания, так как в настоящее время строгое исследование влияний нелинейных слагаемых в уравнениях динамики проводится в лекционных курсах весьма редко. Как правило, на характеристики изучаемого неустановившегося движения накладываются при получении аналитических решений столь сильные ограничения, что в большинстве случаев формулы не отражают доминант изучаемых явлений. [24]
XV мы приведем решение некоторых задач, которые обычно решают методами вариационного исчисления. [25]
Мы предпримем здесь попытку аналитического исследования решений уравнения ( 1) методами вариационного исчисления, изложив кратко историю последовательных попыток ученых и инженеров добыть хорошее аналитическое решение этой важной практической задачи. [26]
При исследовании этой классической задачи динамики самолета мы опять убеждаемся в том, что методы вариационного исчисления позволяют выделять интегрируемые классы движений в достаточно сложных задачах современной нелинейной механики. [27]
Нахождение оптимального управления в подобных задачах требует решения в процессе управления достаточно сложной математической задачи методами вариационного исчисления или математического программирования. Таким образом, органической частью систем оптимального управления становится вычислительная машина. [28]
Часто бывает возможно решить интегральное уравнение вида ( 5), точно или приближенно, методами вариационного исчисления. [29]
Нелинейная система, разработанная фирмой Додко [3, 4], основана на применении интегрального критерия ошибки, минимизация которого проводится методами вариационного исчисления. [30]