Cтраница 3
Показать, что группа единиц кольца о замкнута вой компактна. [31]
Пусть в кольце множеств Я имеется элемент, содержащий все другие множества из Я. Тогда этот элемент называется единицей кольца Я, а само кольцо Я - алгеброй множеств. Например, совокупность 2 всех подмножеств множества X образует алгебру множеств с единицей X. Аналогично класс 2lm измеримых по Лебегу множеств пространства D. Вместе с тем совокупность 2lm всех ограниченных измеримых по Лебегу множеств в Кт образует кольцо, не являющееся алгеброй множеств. [32]
Этими условиями гомоморфизм ф, если он существует, определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Ядро ker ф совпадает с группой единиц кольца А. [33]
Таким образом, элементы множества Н кратны некоторому фиксированному элементу d кольца. Следовательно, cn i вопреки предположению является единицей кольца. [34]
Элементы 0 и 1 являются одновременно нулем и единицей кольца и булевой алгебры. [35]
Ввиду ( 1), кольцо содержит нуль. Единица мультипликативной полугруппы ( если она существует) называется единицей кольца. Кольцо называется коммутативным, если коммутативна его мультипликативная полугруппа. Примерами колец служат целые, четные, рациональные и действительные числа с обычными операциями. [36]
Любой гомоморфизм полей является вложением. Для произвольного поля К существует единственный гомоморфизм ф: Z - K, переводящий единицу кольца и в единицу поля К. [37]
Следовательно, эквивалентное определение состоит в том, что единица - это элемент, обладающий обратным, который, в силу тех же соображений, должен быть единственным. Так как произведение двух единиц снова является единицей, то нетрудно видеть, что множество единиц кольца R образует группу по умножению. В групповом кольце единицами, очевидно, являются все групповые элементы и их аддитивные обратные. [38]
Однако для более трудного второго случая нам будет нужно еще одно свойство единиц кольца Д, имеющее место, когда простое число / регулярно ( см. стр. Это свойство выражается так называемой леммой Куммера, которая дает достаточные уело-вия того, чтобы некоторая единица кольца Dt была / - и степенью другой единицы. [39]
Категория всех малых колец будет обозначаться R ng; ее объекты - малые кольца Л, стрелки /: R - S - ( гомо) морфизмы колец, причем предполагается, что единица кольца R переходит в единицу кольца S. В этой категории нулевое кольцо является терминальным объектом, а кольцо целых чисел Z - начальным, поскольку существует ровно одна стрелка Z - Л, которая переводит 1 Е Z в единицу кольца R. [40]
Категория всех малых колец будет обозначаться R ng; ее объекты - малые кольца Л, стрелки /: R - S - ( гомо) морфизмы колец, причем предполагается, что единица кольца R переходит в единицу кольца S. В этой категории нулевое кольцо является терминальным объектом, а кольцо целых чисел Z - начальным, поскольку существует ровно одна стрелка Z - Л, которая переводит 1 Е Z в единицу кольца R. [41]
ЭНДОМОРФИЗМОВ КОЛЬЦО - ассоциативное кольцо End ЛНот ( 4, А), состоящее из всех морфизмов А в себя, где А - объект нек-рой аддитивной категории С. Умножение в End А совпадает с композицией морфизмов, а сложение - со сложением морфизмов, определенным аксиомами аддитивной категории. Тождественный морфизм 1д является единицей кольца End A. Элемент q из End А обратим тогда и только тогда, когда ф - автоморфизм объекта А. Если А и В - нек-рые объекты категории С, то группа Нот ( А, В) обладает естественной структурой правого модуля над кольцом End А и левого модуля над кольцом End В. [42]
Любой простой подмодуль PcJR изоморфен одному из Раг откуда нетрудно вывести, что он содержится в том же Rit что и Ра. В частности, модуль Раа при a ( R изоморфен Рл и, значит, PafldRi, если Pa Rt. Легко-видеть, что компоненты единицы 1 в разложении ( 5) являются единицами колец Rt, так что мы имеем разложение в прямую. [43]
Пусть А - кольцо и U - множество всех элементов в А, имеющих одновременно правый и левый обратный. Поэтому U удовлетворяет всем аксиомам мультипликативной группы и называется группой делителей единичного элемента 1 или, более кратко, группой единиц кольца А. Она иногда обозначается через А и называется также группой обратимых элементов кольца А. Кольцо А, в котором 1 0 и всякий ненулевой элемент обратим, называется кольцом с делением или телом. [44]
Пусть А - кольцо и U - множество всех элементов в А, имеющих одновременно правый и левый обратный. Поэтому U удовлетворяет всем аксиомам мультипликативной группы и называется группой делителей единичного элемента 1 или, более кратко, группой единиц кольца А. Она иногда обозначается через А и называется также группой обратимых элементов кольца А. Кольцо А, в котором 1.0 и всякий ненулевой элемент обратим, называется кольцом с делением или телом. [45]