Cтраница 4
Категория всех малых колец будет обозначаться R ng; ее объекты - малые кольца Л, стрелки /: R - S - ( гомо) морфизмы колец, причем предполагается, что единица кольца R переходит в единицу кольца S. В этой категории нулевое кольцо является терминальным объектом, а кольцо целых чисел Z - начальным, поскольку существует ровно одна стрелка Z - Л, которая переводит 1 Е Z в единицу кольца R. [46]
Кольца X и У называются изоморфными, если между ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором для любых элементов хг и х2 из X и соответствующих им элементов уг и г / 2 из У, сумме отвечает сумма уг у2, произведению х отвечает произведение и, наконец, произведению Кх ( К - число) отвечает произведение Ку. Само отображение X на У с перечисленными выше свойствами называется изоморфизмом. Заметим, что при изоморфизме колец единица кольца X переходит в единицу кольца У и ноль кольца X переходит в ноль кольца У. Два изоморфных кольца рассматриваются как несущественно различные. [47]
Я из 8R; вторые же слагаемые образуют подмодуль ЗЛ на котором единица е служит единичным оператором. Общим элементом этих двух модулей может быть только нуль, потому что любой другой элемент не может одновременно аннулироваться и сохраняться единицей данного кольца. После того как из модуля ЭЛ исключается не интересная для дальнейшего часть Э Л0, остается лишь модуль, на котором е является единичным оператором. По этой причине мы в последующем постоянно предполагаем, что единица кольца 9R является одновременно и единичным оператором модуля ЭЛ. [48]
Кольца X и У называются изоморфными, если между ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором для любых элементов хг и х2 из X и соответствующих им элементов уг и г / 2 из У, сумме отвечает сумма уг у2, произведению х отвечает произведение и, наконец, произведению Кх ( К - число) отвечает произведение Ку. Само отображение X на У с перечисленными выше свойствами называется изоморфизмом. Заметим, что при изоморфизме колец единица кольца X переходит в единицу кольца У и ноль кольца X переходит в ноль кольца У. Два изоморфных кольца рассматриваются как несущественно различные. [49]
Если кольцо является телом, то оно не содержит делителей нуля, то есть произведение любых двух отличных от нуля элементов кольца также отлично от нуля. Это означает ( поскольку операция умножения ассоциативна), что отличные от нуля элементы тела образуют полугруппу по умножению. Так как тело содержит единичный элемент и элемент, обратный отличному от нуля элементу, отличен от нуля ( поскольку элемент, обратный обратному, существует), то элементы тела, отличные от нуля, образуют группу по умножению. Наоборот, если отличные от нуля элементы кольца образуют группу по умножению, то единичный элемент этой группы совпадает с единицей кольца ( так как Ое - ев 0) и для всех элементов, отличных от нуля, существуют обратные. Следовательно, такое кольцо является телом. [50]