Метода - штрафная функция
Cтраница 3
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся простоту реализации, методами штрафных функций очень трудно получать достоверные решения: при больших значениях параметра штрафа е решения получаются очень грубыми, иногда качественно неверными, при малых значениях параметра е процессы вычисления становятся неустойчивыми ( в частности, системы линейных уравнений, появляющиеся при минимизации квадратичных функционалов, становятся плохо обусловленными), поэтому методами штрафных функций следует пользоваться с большой осторожностью. [31]
Сопоставляя методы внутренних и внешних гладких штрафных функций, в качестве преимущества первых обычно указывают то обстоятельство, что при обращении к ним соблюдение ограничений задачи гарантировано на протяжении всего процесса ее решения. Это важно в случаях, когда целевая функция не определена за пределами допустимого множества и, кроме того, позволяет прервать счет в любой момент времени, получив при этом не какое-то, а допустимое приближение. К недостаткам же внутренних штрафных функций по отношению к внешним следует отнести то, что они имеют смысл только внутри допустимого множества и это обусловливает необходимость использования специальных процедур минимизации, включающих блок проверки соблюдения ограничений, а также их сравнительную сложность. [32]
 |
Бесконечно большой штраф, 226. [33] |
В этой влаве мы покажем, как методы штрафных функций и барьеров возникают из некоторой задачи без ограничений, которая эквивалентна задаче НЛП, но тем не менее не может быть решена непосредственно. Вместо этого методы штрафных функций и барьеров аппроксимируют эту задачу последовательностью связанных с ней задач без ограничений, каждая из которых может быть решена с помощью имеющихся алгоритмов оптимизации. [34]
Основная идея одного из вариантов метода штрафных функций, называемого методом внешней точки, заключается в таком преобразовании целевой функции / () при котором значения преобразованной целевой функции в допустимой области в точности или приближенно равны значениям функции / () в то время как значения вне области S очень велики по сравнению со значениями функции / () Тогда минимум первоначальной целевой функции не будет существенно отличаться от минимума преобразованной функции. Обычным для метода штрафных функций является аддитивное преобразование целевой функции. Грубо говоря, когда х нарушает одно или несколько ограничений, некоторый штраф накладывается на целевую функцию / ( х), увеличивая се значение. [35]
Известно, что сходимость итерационного процесса решения при минимизации целевой функции со штрафами существенно понижается по сравнению со случаем минимизации целевой функции без штрафов. Поэтому в методе штрафных функций особенно желательно использовать возможные способы убыстрения сходимости итерационного процесса решения задачи. [36]
При рассмотрении особенностей решения задачи градиентным методом с учетом ограничений с помощью штрафных функций вначале разберем случаи, когда ограничения по № и ( Зв, учитываемые проекционным методом, отсутствуют. Ниже специально будет рассмотрено сочетание проекционного метода и метода штрафных функций при учете всех режимных ограничений. [37]
Книга представляет собой отредактированный сборник трудов конференции по методам условной оптимизации, проведенной Национальной физической лабораторией ( Великобритания, Тэддингтон) в январе 1974 г., и содержит практически все существующие в настоящее время методы решения задач оптимизации при наличии ограничений. Выделяются две основные группы методов: методы спуска по возможным направлениям и методы штрафных функций. В первых поиск точки минимума функции ведется на последовательности точек, удовлетворяющих ограничениям задачи. Известно, что задачи оптимизации при линейных ограничениях хорошо решаются такими методами. Если же в задаче имеются нелинейные ограничения, то каждый раз приходится корректировать направление спуска, поскольку постоянно нарушаются криволинейные ограничения. В этих случаях, по-видимому, заранее стоит отказаться от построения последовательности точек, удовлетворяющих ограничениям, и допустить к конкурсу все точки соответствующего пространства. На этой идее основаны методы второй группы. [38]
В ней подробно описаны методы оптимизации для задач без ограничений, включая методы сопряженных направлений и сопряженных градиентов, а также способы ускорения сходимости. Специальные главы посвящены методам оптимизации для задач с линейными ограничениями и квадратичного программирования, методам штрафных функций и барьеров, возможных направлений, отсечений и ряду других принципов оптимизации. Вместе с тем следует подчеркнуть, что автор, видимо, недостаточно знаком с исследованиями по нелинейному программированию, проводимыми в Советском Союзе. Поэтому в книге не затронуты, например, методы оптимизации негладких выпуклых функций, методы типа алгоритма фиктивной игры и ряд других. [39]
 |
Влияние увеличения параметра штрафа на приближенное решение задачи из примера. [40] |
В § 6.6 было показано, как нпюльжшать метод множителей Лагранжа для построения обпито шфиацпонного принципа, рассматривая дифференциальное уравнение как ограничение, наложенное во всех точках области. Ясно, что ту же самую процедуру можно использовать применительно к описанному в предыдущем параграфе методу штрафных функций. [41]
Если L ( u ] - сильно выпуклая функция, Ra - выпуклое множество, то ОММП-оценка (9.34) существует и единственна. Численно ОММП-оценки для общего случая можно находить методами нелинейного программирования, применяя, в частности, градиентные методы или методы штрафных функций. [42]
В работе [94] ими выведены необходимые условия минимакса, достаточные условия локального минимакса, приведены методы последовательных приближений для нахождения стационарных точек. В рамках данного направления В.В. Федоровым в [250] приводятся конкретные алгоритмы численного решения минимаксных задач иерархического вида, основанные на методе штрафных функций. [43]
Как и В ( к, г), функция Р ( х, г) при малых г становится овражной. Таким образом, недостатки методов барьерных функций, связанные с овражностью В (, г), в полной мере присущи и методам штрафных функций. [44]
К методу штрафных функций идейно примыкает метод параметризации целевой функции, в котором также строится и решается последовательность параметризованных задач без функциональных ограничений. Отличие состоит в том, что здесь параметр изменяется по заранее заданному правилу, оставаясь при этом ограниченным сверху, а в методе штрафных функций параметр может достаточно произвольным образом стремиться к оо. Кроме того, в излагаемом ниже методе параметр по смыслу связан с целевой функцией, а не с ограничениями исходной задачи, как это было ранее. Отсюда и происходит указанное название метода. [45]
Страницы: 1 2 3 4