Cтраница 4
Большое внимание уделено численным методам решения линейных и нелинейных задач механики деформирования упругих, упруго-пластических и вязкоупругих тел, численным методам решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также прямым вариационным методам. В учебнике изложены основные положения метода конечных элементов, что обеспечит лучшую подготовленность студентов к изучению курса строительной механики. Даются понятия о методе граничных элементов. [46]
Большое внимание уделено численным методам решения линейных и нелинейных задач механики деформирования упругих, упруго-пластических и вязкоупругих тел, численным методам решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также прямым вариационным методам. В учебнике изложены основные положения метода конечных элементов, что обеспечит лучшую подготовленность студентов к изучению курса строительной механики. Даются понятия о методе граничных элементов. [47]
Различия в вариантах МГЭ проявляются прежде всего в приемах вывода соответствующих граничных интегральных уравнений и отчасти в способах обработки результатов их решения. Техника же разбиения границ, аппроксимаций, подсчета коэффициентов, решения уравнений, коль скоро они получены, расчетов для внутренних точек остается одной и той же. Поэтому структура и многие элементы программ, реализующих любой вариант, одинаковы и развитие вычислительной стороны осуществляется для метода граничных элементов в целом. Это отчетливо показано в данной книге, и авторы настойчиво добиваются, чтобы читатель ощутил единый модульный характер вычислительных программ и значительную общность модулей. Сравнивая достоинства вариантов, можно все же отметить, что прямой метод, включая и вариант разрывных смещений в прямой его трактовке, очень привлекателен для механиков и инженеров своей главной чертой - тем, что в нем неизвестные функции являются физически осязаемыми величинами. Это немаловажное достоинство становится особенно ценным в случаях, когда достаточно знать лишь значения усилий и смещений на границе, когда необходимо учесть дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, а также в контактных задачах, подобных рассмотренным в § 8.2, 8.4, при произвольных условиях, связывающих усилия с взаимными смещениями в соприкасающихся точках границ. С другой стороны, в непрямых вариантах несколько сокращаются вычисления на заключительном этапе - при нахождении напряжений, деформаций и смещений во внутренних точках области по найденному решению ГИУ. [48]
Уравнения (6.2.6) составляют основу прямого метода граничных интегралов. N) задается как граничные условия, в то время как другая половина соответствует неизвестным. Следовательно, уравнения (6.2.6) можно использовать для записи системы 2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными точно так же, как это делалось в рассмотренных выше методах граничных элементов. Неизвестными в этой системе уравнений являются фактические граничные смещения или напряжения, которые не заданы как граничные условия. [49]
Подавляющее большинство задач гидромеханики относится к большим, а очень часто и к простирающимся до бесконечности областям течения жидкости. И хотя основные дифференциальные уравнения, как правило, существенно нелинейны, их можно преобразовать так, чтобы нелинейные члены относились только к некоторой локализованной части области течения. Примеры такого преобразования уже были описаны в гл. Методы граничных элементов являются в этом отношении единственными из численных методов, позволяющими учитывать бесконечно удаленные границы без какой-бы то ни было дополнительной дискретизации. [50]
В монографии изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния контактирующих элементов конструкций, полученные с помощью метода конечных элементов и метода граничных интегральных уравнений, известного также под названием метод граничных элементов. Эти перспективные современные численные методы удобны для решения на ЭВМ широкого класса контактных задач механики деформируемого тела и в рамках одной программной реализации позволяют учесть большое число практически важных факторов, таких, как сложная геометрия и произвольный характер внешних воздействий, различные условия контактного взаимодействия. Метод конечных элементов представляется более универсальным, так как позволяет легко учесть физическую и геометрическую нелинейность, объемные силы, зависимость свойств материала от температуры. В методе граничных элементов учет этих факторов настолько увеличивает трудоемкость решения задачи, что сводит на нет основные преимущества метода, такие, как дискретизация только границы области и малый объем входной информации. Поэтому в книге метод граничных элементов использовьн только для решения контактных задач теории упругости, где наряду с простотой задания исходной информации он может дать и выигрыш машинного времени за счет понижения размерности задачи на единицу, особенно для бесконечных и полубесконечных областей. Метод граничных элементов позволяет построить также более совершенный алгоритм для учета трений в зоне контактных взаимодействий. По-видимому, еще большего выигрыша следует ожидать в некоторых задачах при совместном использовании обоих методов. [51]
Тенденция всех глав - отчетливо показать, как конструируются и используются методы граничных элементов. Для этого математический и численный анализы проводятся предельно просто. Однако ряд математических соотношений разъясняется в деталях. Некоторые читатели предпочтут опустить эти детали, тогда как другие будут рады найти и использовать все необходимые формулы для построения своих собственных вычислительных программ, реализующих методы граничных элементов. [52]
В монографии изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния контактирующих элементов конструкций, полученные с помощью метода конечных элементов и метода граничных интегральных уравнений, известного также под названием метод граничных элементов. Эти перспективные современные численные методы удобны для решения на ЭВМ широкого класса контактных задач механики деформируемого тела и в рамках одной программной реализации позволяют учесть большое число практически важных факторов, таких, как сложная геометрия и произвольный характер внешних воздействий, различные условия контактного взаимодействия. Метод конечных элементов представляется более универсальным, так как позволяет легко учесть физическую и геометрическую нелинейность, объемные силы, зависимость свойств материала от температуры. В методе граничных элементов учет этих факторов настолько увеличивает трудоемкость решения задачи, что сводит на нет основные преимущества метода, такие, как дискретизация только границы области и малый объем входной информации. Поэтому в книге метод граничных элементов использовьн только для решения контактных задач теории упругости, где наряду с простотой задания исходной информации он может дать и выигрыш машинного времени за счет понижения размерности задачи на единицу, особенно для бесконечных и полубесконечных областей. Метод граничных элементов позволяет построить также более совершенный алгоритм для учета трений в зоне контактных взаимодействий. По-видимому, еще большего выигрыша следует ожидать в некоторых задачах при совместном использовании обоих методов. [53]
Предположим, что можно задать как пробную, так и весовую функции таким образом, что они удовлетворят дифференциальному уравнению точно. В результате погрешность по области будет точно равна нулю. Теперь остается лишь удовлетворить граничным условиям некоторым образом по взвешенным невязкам. Отсюда следует, что в некоторых задачах необходимо лишь дискретизировать границу области. Подобые методы называются методами граничных элементов. В первом из них в качестве весовых функций выбираются сингулярные решения определяющего дифференциального уравнения, в то время как во втором весовые функции удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям. [54]
Для реальных задач построить аналитическое решение зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные уравнения в частных производных линейны, область R может оказаться неоднородной, геометрия-нерегулярной, а граничные условия - трудно описываемыми простыми математическими функциями. Численные методы решения краевых задач можно разделить на два отчетливых класса: класс, который требует использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который требует использования аппроксимаций только на границе С. В первый класс входят методы конечных разностей и конечных элементов, во второй - методы граничных элементов. [55]
В связи с этим для анализа объектов на микроуровне разрабатывают приближенные модели, математическое описание которых представлено системами обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. Для построения приближенных моделей объектов используют два подхода. В основе одного из них лежит метод сеток, в основе другого - использование интегральных уравнений. К наиболее популярным вариантам метода сеток относятся метод конечных элементов и метод конечных разностей. Оба метода обеспечивают примерно одинаковую точность решения и успешно используются для построения моделей в САПР. К методам, основанным на использовании интегральных уравнений, относятся методы граничных элементов. Применение этих методов позволяет, в частности, на единицу понижать размерность решаемых задач. [56]