Cтраница 3
При поисках надежных и эффективных методов решения жестких задач явные методы исключаются из рассмотрения ввиду их свойств устойчивости. С одной стороны ( [13-15] и др.), области устойчивости явных методов ограничены. Поэтому для них шаг интегрирования h на всем промежутке [ 0, th ] ограничен в силу неравенства Ятах1 - h D, где Хтах-максимальное собственное число матрицы Якоби системы ( 1), а положительная постоянная D связана с размером области устойчивости. С другой стороны, элементарные стадии протекают с сильно различающимися скоростями, и поэтому длина интервала интегрирования ( характерное время релаксации) значительно больше величины D / Xmax. В результате интегрирование при условии 1Ятах1 h D оказывается затруднительным для современных ЭВМ. [31]
Одна из трудностей при численном исследовании систем динамики оболочек явными методами состоит в том, что системы этих уравнений имеют свободные не дифференциальные члены с большим множителем пропорциональным / 3 - 2, где / 3 - отношение толщины оболочки к минимальному радиусу кривизны срединной поверхности, причем / 3 0.02 - 0.001. В этом случае в точных решениях могут возникать быстро осциллирующие и слабо затухающие по времени и пропорциональные ехр ( Ь7 / / 3) компоненты решения. [32]
Число выполняемых на каждом шаге арифметических операций NI в явных методах, JV3 и N в неявных становится недопустимо большим уже для схем средней сложности. [33]
В результате расчетов установлено, что точность определения параметров структуры в явных методах выше ( при соответствующем качестве эксперимента), чем при использовании неявных методов. Достоинством последних является: меньшие затраты на получение экспериментальных данных, более широкая область применимости. Например, значения потенциалов в позициях ионов могут быть использованы при интерпретации спектров ядерного гамма-резонанса. [34]
Выделение жестких систем уравнений в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производные становятся существенно меньше. Для устранения этого ограничения были предложены различные численные методы [1-3], однако и в настоящее время проблема численного решения жестких нелинейных систем остается актуальной. [35]
Основным недостатком метода переменных состояния является сложность формирования математической модели схемы и ориентация на явные методы решения систем дифференциальных уравнений, практически не пригодные для расчета схем с большим разбросом постоянных времени из-за ограничений на шаг расчета. Реализация неявных методов затруднительна из-за сложности вычисления матрицы Якоби. [36]
В § 9.12 будут приведены примеры математических моделей технических систем, для которых неприменимы все рассмотренные явные методы интегрирования, в том числе и метод Рунге-Кутта, из-за неустойчивости вычислительного процесса. [37]
В связи с более высокой устойчивостью неявные методы позволяют значительно увеличивать шаг интегрирования по сравнению с явными методами. [38]
При этом порядок решаемой системы дифференциальных уравнений движения повысится, однако получаемая система может быть решена явными методами численного интегрирования. [39]
С другой стороны, использование виртуальной памяти может привести к недопустимым непроизводительным затратам системных ресурсов, так что расчет на собственные явные методы ( подобные тем, которые рассматривались выше) может оказаться наилучшим способом получить максимум от высокопроизводительных внешних запоминающих устройств. Одна из основных характеристик изученных выше методов заключается в том, что они разрабатывались с расчетом, чтобы максимально возможное число независимых частей компьютерной системы работало с максимальной эффективностью и ни одна из частей при этом не простаивала. [40]
Применение неявных методов требует решения нелинейного уравнения или системы уравнений и, казалось бы, приводит к ненужным осложнениям по сравнению с явными методами. Однако неявные методы имеют несколько меньшее значение постоянного множителя в главном члене погрешности на шаге; в случае линейного уравнения ограничение на шаг типа (10.15), обеспечивающее при fv 0 отсутствие корней уравнения (7.3), по модулю больших 1, для неявных методов более слабое. [41]
С точки зрения ограничения на шаг Ат, связанного с требованием наличия у схем устойчивости, явные многошаговые методы не имеют преимуществ по сравнению с явными методами Рунге-Кутта. [42]
Это обычно требует неявных методов, в которых вычисление координат хп требует знания полей в тот же самый момент времени ( см. задачу 9.20), а не в предшествующий момент, как в явных методах, обсуждавшихся выше. Так как поля в момент tn зависят от неизвестных координат х, уравнения для полей и частиц представляют собой очень большую систему связанных нелинейных уравнений. Для сохранения устойчивости приближенное решение должно быть очень аккуратным. [43]
Формулу численного интегрирования (5.8) и соответствующие ей методы интегрирования называют явными. Явные методы по аналогии с неявными могут быть одно - и многошаговыми, аналогично определяются порядки явных методов. [44]
Но неявные методы обладают более высокой устойчивостью, чем явные, что позволяет применять их для решения плохо обусловленных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, характерных для большинства технических объектов. Явные методы интегрирования в таких случаях часто оказываются неприемлемыми либо из-за неустойчивости вычислительного процесса, либо из-за слишком малых шагов интегрирования. [45]