Cтраница 2
Дадим еще одно приложение факта метризуемости ш - топо-логии на D в сепарабельном случае. Для доказательства заметим, что компакт D, будучи метрическим, сепарабелен. [16]
Для бикомпактных хаусдорфовых пространств симметризуемость равносильна метризуемости. [17]
Теоремы 4.3.26 и 3.9.10 показывают, что метризуемость полной метрикой сохраняется в сторону прообраза совершенными отображениями, определенными на метрических пространствах. [18]
Можно доказать, что эти условия влекут метризуемость топологии пространства У ( гл. [19]
Заключительная часть этого параграфа посвящена изучению сохранения метризуемости при отображениях. Для начала напомним, что в примере 1.4.17 мы определили замкнутое отображение вещественной прямой на пространство, не удовлетворяющее первой аксиоме счетности. Таким образом, метризуемость не сохраняется при замкнутых отображениях ( ср. Теперь мы приведем два примера, показывающих, что метризуемость не сохраняется и при открытых отображениях ( ср. [20]
Начнем с общей леммы, характеризующей те свойства метризуемости, которые существенны для рассматриваемых ниже теорем. [21]
Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. [22]
Смирнов, Об одной задаче, связанной с метризуемостью топологических пространств, Матем. [23]
Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами ( в отличив от метризуемости), иначе, напр. [24]
Поэтому нормальность и удовлетворение первой аксиоме счетности являются необходимыми условиями метризуемости топологического пространства. В качестве примера неметризуе-мого пространства, можно взять любое топологическое пространство, не удовлетворяющее первой аксиоме счетности или не нормальное. Между тем, названные условия не являются достаточными для метризуемости пространства. Ответ на вопрос о метризации пространств со счетной базой дает следующая теорема. [25]
Выполнение первой аксиомы счетности и нормальность пространства являются необходимыми условиями для метризуемости. Теоремы, в которых даются достаточные условия метризуемости, носят название метризационных теорем. [26]
Вместе с тем паракомпактность пространства еще не влечет за собой его метризуемость. [27]
Преимуществом топологии равномерной сходимости ( на всем пространстве) является ее метризуемость. Но обладает важными преимуществами и топология поточечной сходимости - слабейшая в том же круге топологий. Во-первых, эта топология обладает наибольшим запасом компактов, как слабейшая, а компактность является одним из наиболее полезных свойств множества функций. Во-вторых, имеет место фундаментальный результат Дз. Nagata), к-рым изучение любых тихоновских пространств ставится в прямую связь с исследованием топологич. А именно, тихоновские пространства А и У гомеоморф ны в том и только в том случае, если топологически изоморфны топологич. X) и Сp ( Y) непрерывных функций на X и У, взятые в топологии поточечной сходимости. [28]
Мы докажем, что существование а-локально конечной базы также и достаточно для метризуемости регулярного пространства. [29]
Это показывает, что в утверждении ( Ь) теоремы 1.28 условие метризуемости не может быть опущено. [30]