Cтраница 4
В возмущенной системе седлам соответствует замкнутая кривая, а входящей и выходящей сепаратрисам - притягивающееся и отталкивающееся инвариантные многообразия этой замкнутой кривой. Но если в усредненной системе сепаратрисы при пересечении сливаются, то в возмущенной системе это, вообще говоря, не так. [46]
Гомоклинической ( гетероклинической) картиной называется сеть, образованная на секущей плоскости пересекающимися следами притягивающегося и отталкивающегося инвариантных многообразий одной ( двух) замкнутых траекторий. [47]
По существу же, как подчеркивается в [3], речь идет о некотором варианте теоремы Адамара-Перрона об инвариантных многообразиях в неавтономном случае. После этого доказывается, что определенные чуть выше в основном тексте множества совпадают с этими многообразиями. Отличие от работы Перрона состоит в том, что проверяется известная равномерность построения по всем траекториям Y из Qt. [48]
При прохождении резонанса k k 2 - О в С в общем случае происходит ответвление от сепаратрис особой точки инвариантного многообразия, уравнение которого имеет в первом приближении вид z lz 2 - е, где е характеризует отклонение от резонанса, a z, zi - фазовые координаты. [49]
В зависимости от значений параметров здесь могут представиться случаи рождения как двумерных торов, так и периодических движений седлового типа с пересекающимися инвариантными многообразиями S и S -, а также случаи, когда рождаются устойчивые периодические движения утроенного и соответственно учетверенного периодов. Эти особые бифуркации могут приводить к возникновению хаотических движений. [50]
Пусть Ts, Tu и Тс - плоскости, соответствующие оператору А, как описано в пункте 4.1. Тогда дифференциальное уравнение xv ( x) имеет инвариантные многообразия W, Wu и Wc, гладкие класса Cr lt Cr 1 и Сг, проходящие через 0 и касающиеся в нуле плоскостей Т, Ти и Тс соответственно. Фазовые кривые этого уравнения на многообразиях Ws, Wu ведут себя так же, как в теореме Ада-мара - Перрона; поведение фазовых кривых на многообразии Wc определяется нелинейными членами. [51]
К числу локальных свойств относятся: исследование положений равновесия и других упомянутых выше специальных типов траекторий для потоков и их аналогов для каскадов, квазипериодических движений и инвариантных многообразий для тех и других, а также и нек-рых классов инвариантных множеств. [52]