Cтраница 3
Локальное семейство-векторных полей ( v; О, 0), v ( О, 0) 0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. [31]
Для того чтобы все уравнения вида ( 3), формально эквивалентные между собой, имели аналитическое центральное многообразие, необходимо и достаточно, чтобы особая точка 0 этих уравнений была неизолированной; центральное многообразие в этом случае состоит из особых точек. Это условие выделяет множество уравнений коразмерности бесконечность. [32]
Анализ бифуркаций фазовых портретов в окрестности положений равновесия в типичных однопараметрических семействах многомерных систем был обоснован после того, как появилась общая теорема сведения А. Н. Шоши-тайшвили [117], сводящая исследование произвольных локальных семейств к исследованию их ограничений на центральное многообразие. [33]
В выражениях для нормализованных струй опущены члены, не влияющие на ответ. Ограничение на центральное многообразие каждого из ростков перечисленных выше классов Wi, UV, WzJ топологически эквивалентно одному из ростков, W-струи которых перечислены в таблице 2, при условии, что нормализованная ЛГ-струя исследуемого ростка не принадлежит исключительному многообразию; это многообразие и число W также указаны в таблице. [34]
Наличие у системы инерциального многообразия позволяет исследовать асимптотическое поведение не самой системы, а ее инерциальнои формы. Это напоминает проекцию уравнений на центральное многообразие, упрощающую исследование свойств системы в окрестности точки бифуркации. [35]
Предположим, что редукция системы к центральному многообразию уже проведена. Это означает, что все корни характеристического уравнения ( 53) лежат на единичной окружности. Разумеется, центральное многообразие может иметь лишь конечный класс гладкости [10], но мы рассмотрим лишь формальный аспект проблемы. Точнее, мы рассмотрим процедуру построения инвариантных кривых в виде некоторых формальных рядов. Для этой цели вполне достаточно предположить, что / представима в виде формальных рядов Маклорена. [36]
&i имеет негиперболическую особую точку О с одномерным центральным многообразием. [37]
Таким образом, анализ простых моделей может давать весьма подробную информацию о бифуркациях в достаточно сложных системах. Более того, иногда метод построения проекции на центральное многообразие позволяет даже строить упрощенные модели для некоторых бифуркаций уравнений в частных производных. [38]
Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр ( соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов ( 10), то она обладает настоящим гладким решением для которого ( 10) дает асимптотическое разложение. [39]
Однако сначала поясним, какая польза может быть от знания этих многообразий. Дело в том, что траектории системы экспоненциально сходятся к центральному многообразию, и реально свойства системы в окрестности особой ( или неподвижной) точки зависят только от того, что происходит на Wc. А так как это многообразие инвариантно, то его можно принять за новое фазовое пространство некоторой динамической системы меньшей размерности и анализировать только проекцию исходной системы на центральное многообразие. [40]
Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором - его коразмерность v, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом - главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [41]
Центральное многообразие В теории динамических систем движения в окрестности положения равновесия допускают классификацию по собственным значениям и подразделяются на устойчивые, неустойчивые и колебательные, или осцилляторные. Подпространство фазового пространства, образуемое чисто осциллятор-ными решениями, иногда называют центральным многообразием. [42]
Пусть формальное векторное поле записано в предварительной нормальной форме. Плоскость, на которой гиперболические переменные обращаются в нуль, называется формальным центральным многообразием для этого поля. [43]
Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов. Для отображений справедливы: теорема Адамара - Перрона, теорема о центральном многообразии и принцип сведения Шо-шитайшвили ( см. § 4, гл. [44]
Эти два шага осуществляют нормализацию Л - струи ограничения исходного ростка на соответствующее центральное многообразие. [45]