Cтраница 3
Определим условия, при которых система (2.7) допускает неоднозначное решение. Эти условия называются характеристическим многообразием. Для того чтобы система (2.7) допускала неоднозначное решение, между коэффициентами уравнений этой системы должна существовать линейная зависимость. [31]
Полоска х ( о), п ( а), удовлетворяющая уравнениям (50.4) и (50.2), называется бихарактеристикой. Из изложенного выше следует, что любое характеристическое многообразие можно получить, склеивая некоторое однопараметричзское семейство бихарактеристик. Этот факт, вероятно, станет более ясным, если ввести в рассмотрение характеристический коноид, образованный семейством бихарактеристик, проходящих через данную точку. Тогда действие возмущения, возникшего в произвольном множестве точек, ограничено огибающей характеристических коноидов, вершины которых лежат в этом множестве точек. [32]
Характеристические многообразия в общем случае трехмерного неустановившегося течения рассматриваются в книге [24], стр. В этой работе содержатся также интересные замечания относительно характеристических многообразий произвольной системы уравнений с частными производными первого порядка ( стр. [33]
Как было отмечено выше, каждая особая поверхность является характеристическим многообразием. Обратное конечно, неверно, однако в любом случае на характеристическом многообразии должны удовлетворяться геометрические условия, определяющие особые поверхности. [34]
Метод характеристик, в некотором смысле аналогичный методу характеристик для плоского течения, был разработан для исследования определенного класса трехмерных сверхзвуковых течений Коберном и Долфом. В появившихся недавно работах Холта:) и Коберна2) рассматривалась задача о характеристических многообразиях установившегося вих-ревого сверхзвукового течения. [35]
В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55] в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования ( которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [36]
В заметке [3] рассматривалось видоизменение теоремы Мизеса, согласно которому удалось определить соотношения между первыми инвариантами тензоров деформаций и напряжений независимо от вида поверхности текучести. Однако соотношения закона связи между напряжениями и деформациями, предложенные в [3], обладают существенным недостатком: характеристические многообразия уравнений, определяющих напряженное и деформированное состояния, оказываются в общем случае различными и, следовательно, граничные условия, заданные на данной части поверхности тела, определяют различные области существования решений для напряжений и скоростей перемещения. [37]
С другой стороны, характеристики, выходящие из точек пересечения нашего характеристического многообразия ( 19) и многообразия Мп - -, образуют, в силу доказанного выше, наше характеристическое многообразие ( 19) и, следовательно, построенная интегральная поверхность будет действительно содержать наше характеристическое многообразие. Ввиду произвола в выборе вспомогательного многообразия Мп - - [, существует бесчисленное множество интегральных поверхностей, содержащих данное характеристическое многообразие, что мы и хотели доказать. [38]
Иначе говоря, наше многообразие должно быть характеристическим многообразием. Итак, для того, чтобы при условии Д 0 существовала интегральная поверхность, содержащая многообразие ( 19), необходимо, чтобы это многообразие было характеристическим многообразием. [39]
В работах Д.Д. Ивлева было показано, что при условии полной пластичности, уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности образуют статически определимую систему уравнений и принадлежат к гиперболическому типу. Им даны уравнения, определяющие кинематику пластического течения и установлено, что они также принадлежат к гиперболическому типу и что уравнения, определяющие статику и кинематику идеально пластического тела, имеют совпадающие характеристические многообразия. Таким образом, в работах Д.Д. Ивлева дано построение общей теории идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, соответствующим сдвиговой природе идеально пластического деформирования. Эти результаты были распространены на случай анизотропного и сжимаемого идеально пластического материала, а также на случай хрупкого разрушения путем отрыва. [40]
В работах Д.Д. Ивлева было показано, что при условии полной пластичности уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности образуют статически определимую систему уравнений и принадлежат к гиперболическому типу. Им даны уравнения, определяющие кинематику пластического течения, и установлено, что они также принадлежат к гиперболическому типу и что уравнения, определяющие статику и кинематику идеально пластического тела, имеют совпадающие характеристические многообразия. Таким образом, было завершено построение теории идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, соответствующим сдвиговой природе идеально пластического деформирования. Эти результаты были распространены на случай анизотропного и сжимаемого идеально пластического материала, а также на случай хрупкого разрушения путем отрыва. [41]
V п скорости V в М на нормаль к этим поверхностям будет в точности равна а. Отсюда вытекает весьма важное следствие. Если жидкость движется стационарно ( установившееся движение) и притом повсюду с дозвуковой скоростью, то действительные характеристические многообразия существовать не могут. Напротив, если движение жидкости совершается со сверхзвуковыми скоростями, то всегда могут быть построены действительные характеристики. [42]
Метод получения этих производных обычен: производные по касательным к Е направлениям определяются непосредственно по заданным на S значениям функций, а нормальные производные получаются из системы уравнений (35.1) - (35.4), линейных относительно этих неизвестных производных. Может случиться, однако, что система уравнений (35.1) - (35.4) не позволяет определить величины нормальных производных. Смысл условий, определяющих характеристическое многообразие, станет более ясным, если заметить, что два решения могут касаться только вдоль этих характеристических многообразий, или, иначе говоря, производные от решения могут претерпевать разрыв только на этих поверхностях Можно отметить также большую роль, которую играют характеристические многообразия в распространении возмущений в поле течения; эта роль более или менее ясна на основе вышесказанного. [43]
Метод получения этих производных обычен: производные по касательным к Е направлениям определяются непосредственно по заданным на S значениям функций, а нормальные производные получаются из системы уравнений (35.1) - (35.4), линейных относительно этих неизвестных производных. Может случиться, однако, что система уравнений (35.1) - (35.4) не позволяет определить величины нормальных производных. Смысл условий, определяющих характеристическое многообразие, станет более ясным, если заметить, что два решения могут касаться только вдоль этих характеристических многообразий, или, иначе говоря, производные от решения могут претерпевать разрыв только на этих поверхностях Можно отметить также большую роль, которую играют характеристические многообразия в распространении возмущений в поле течения; эта роль более или менее ясна на основе вышесказанного. [44]
В зависимости от выбора А А или А А эти лучи будут идти либо в положительном, либо в отрицательном направлении по t при входе в R х из R x dQ, что видно из подстановки в наши формулы вместо А соответствующих асимптотических разложений. Выберем ту функцию Эйри Л, которая дает только лучи, распространяющиеся вперед во времени. VIII показывают, что каноническое отношение между WF ( f) и WF ( и) для случая, когда WF ( f) пересекает характеристическое многообразие, содержится в замыкании предыдущего канонического отношения. Поскольку бихарактеристический поток на Т ( R x дК) непрерывен ( но не является гладким), мы можем сделать вывод, что в общем случае WF ( и) состоит из идущих вперед лучей, проходящих через лежащие в гиперболической области на Т ( R x дК) точки WF ( /), а также из идущих вперед касательных полулучей, проходящих через точки WF ( /), попавшие в характеристическое многообразие. Если рассматривать операторы § 2 как однопараметрическое семейство операторов на R x дК с у в качестве параметра, мы получим результаты о гладкости вплоть до границы. Этим и заканчивается исследование регулярности решений. [45]