Cтраница 4
Метод получения этих производных обычен: производные по касательным к Е направлениям определяются непосредственно по заданным на S значениям функций, а нормальные производные получаются из системы уравнений (35.1) - (35.4), линейных относительно этих неизвестных производных. Может случиться, однако, что система уравнений (35.1) - (35.4) не позволяет определить величины нормальных производных. Смысл условий, определяющих характеристическое многообразие, станет более ясным, если заметить, что два решения могут касаться только вдоль этих характеристических многообразий, или, иначе говоря, производные от решения могут претерпевать разрыв только на этих поверхностях Можно отметить также большую роль, которую играют характеристические многообразия в распространении возмущений в поле течения; эта роль более или менее ясна на основе вышесказанного. [46]
В зависимости от выбора А А или А А эти лучи будут идти либо в положительном, либо в отрицательном направлении по t при входе в R х из R x dQ, что видно из подстановки в наши формулы вместо А соответствующих асимптотических разложений. Выберем ту функцию Эйри Л, которая дает только лучи, распространяющиеся вперед во времени. VIII показывают, что каноническое отношение между WF ( f) и WF ( и) для случая, когда WF ( f) пересекает характеристическое многообразие, содержится в замыкании предыдущего канонического отношения. Поскольку бихарактеристический поток на Т ( R x дК) непрерывен ( но не является гладким), мы можем сделать вывод, что в общем случае WF ( и) состоит из идущих вперед лучей, проходящих через лежащие в гиперболической области на Т ( R x дК) точки WF ( /), а также из идущих вперед касательных полулучей, проходящих через точки WF ( /), попавшие в характеристическое многообразие. Если рассматривать операторы § 2 как однопараметрическое семейство операторов на R x дК с у в качестве параметра, мы получим результаты о гладкости вплоть до границы. Этим и заканчивается исследование регулярности решений. [47]