Одномерное многообразие
Cтраница 3
На основе численных экспериментов Хенон наглядно показал, что простое отображение плоскости на себя, по-видимому, содержит странный аттрактор, аналогичный тому, который обнаружил и исследовал Лоренц для системы трех дифференциальных уравнений первого порядка. Этот странный аттрактор, по-видимому, является произведением одномерного многообразия на канторово множество. [31]
На основе численных экспериментов Хенон наглядно показал, что простое отображение плоскости на себя, по-видимому, содержит странный аттрактор, аналогичный тому, который обнаружил и исследовал Лоренц для системы трех дифференциальных уравнений первого порядка. Этот странный аттрактор, по-видимому, является произведением одномерного многообразия на канторово множество. [32]
Тогда, согласно 4.1, М - одномерное многообразие с краем. Тогда U должно представлять собой в точности внутренность связного одномерного многообразия М с краем. [33]
В двумерном пространстве, помимо теоремы Гаусса и теоремы Стокса, которые в этом случае по существу равносильны, существует еще одно обобщение формулы Ньютона - Лейбница, а именно теорема, выражающая условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Дело в том, что в двумерном пространстве существуют замкнутые одномерные многообразия, имеющие нульмерные границы; это дуги кривых с двумя граничными точками, и задача состоит в том, чтобы криволинейный интеграл Fdr по такой дуге привести к выражению, зависящему только от граничных точек. [34]
Схемой преобразования изображения, позволяющей выйти за рамки формул (3.29), (3.67), (3.70), (3.71), является схема критичного векторного синхронизма [204-228], где благодаря цилиндрической фокусировке накачки для каждого ИК-луча имеется луч накачки, с которым взаимодействие происходит точно в синхронизме. Поэтому для перевода двумерного изображения ИК-лучей достаточно фокусировки, дающей одномерное многообразие лучей накачки. [35]
В фазовом пространстве Я2 а, со системы (2.4) точки покоя могут являться проекциями неособых фазовых траекторий трехмерного фазового пространства. У системы (1.30) - (1.32) существуют положения равновесия, которые заполняют одномерные многообразия. [36]
Во многих отношениях очень удобно, если в рассмотренной выше ситуации множество U всегда оказывается возможным выбрать так, чтобы образ ф ( U) содержал ровно один кусок кривой. Когда такое случается, мы говорим, что наша кривая является одномерным многообразием, и такие объекты ( или их родственники большей размерности) будут занимать нас в гл. [37]
Поэтому в фазовом пространстве последней точки покоя могут являться проекциями неособых фазовых траекторий четырехмерного фазового пространства. Действительно, у системы (7.10) - (7.13) существуют положения равновесия, которые заполняют одномерные многообразия. [38]
 |
Векторы dH и. [39] |
В большинстве случаев эти локальные постоянные невозможно непрерывно продолжить на все Г ( М), и они не определяют замкнутое ( 2т - 1) - мерное подмногообразие. Как показывает следующий весьма характерный случай, может случиться так, что траектория всюду плотна в более чем одномерном многообразии. [40]
Рецензируемая книга преследует троякую цель: она содержит 1) изложение общей теории конечных непрерывных групп Ли на языке, приспособленном к дифференциально-геометрическим приложениям, 2) общее описание метода подвижного репера и 3) приложение этой теории к ряду важных примеров. Расположение материала продиктовано соображениями скорее дидактики, чем системы, Например, первые примеры глав 1 - 3 о кривых в Е3, минимальных кривых в / Г3, линейчатых поверхностей в / Г3 ( рассматриваемых как одномерные многообразия прямых) предшествуют общей формулировке. Главы 4 - 9, 11, 13, 14 посвящены группам Ли. В то время как темы 1) и 3) изложены подробно, тема 2), которой мы уделили основное внимание в настоящей рецензии, лишь кратко затронута в начале главы 10 с точки зрения групп преобразовании, а в начале главы 12 - с абстрактной точки зрения. В обеих главах далее идут приложения: кривые на аффинной и проективной плоскостях и произвольные поверхности в Е, В последнем примере - единственном, в котором рассматриваются многообразия более чем одного измерения, - заходит речь об условиях интегрируемости; хотя их роль в теории групп Ли широко обсуждается, общая формулировка этих условий как неотъемлемой части теоремы существования в теории репера опущена. [41]
В частности, ( я - 1) - мерное многообразие задается одним уравнением. Таким образом, ( л - 1) - мерные многообразия пространства X совпадают с гиперповерхностями. Одномерные многообразия называются также линиями. [42]
В частности, ( п - 1) - мерное многообразие задается одним уравнением. Таким образом, ( п - 1) - мерные многообразия пространства Еп совпадают с гиперповерхностями. Одномерные многообразия называются также линиями. [43]
На параметризованном многообразии MX все эти инварианты - функции параметров ta, Их совпадение для двух таких многообразий М, М необходимо и достаточно для того, чтобы многообразия были равны. Такая теорема единственности сопровождается соответствующей теоремой существования. Для одномерных многообразий на инварианты не налагаются никакие ограничения, а в случае нескольких параметров ta инварианты должны удовлетворять некоторым условиям интегрируемости. [44]
Дифференциальная геометрия линейчатых многообразий разработана достаточно глубоко. Простейшими многообразиями с нелинейными образующими элементами являются многообразия коник. Со всяким одномерным многообразием: С коник в трехмерном пространстве ( евклидовом, аффинном или проективном) ассоциируется торс Т, являющийся огибающей поверхностью плоскостей коник. Двумерное многообразие ( к о н г р у э н-ц и я) коник в трехмерном пространстве имеет в общем случае шесть фокальных поверхностей и шесть фокальных семейств. Все коники конгруэнции касаются этих поверхностей. Конгруэнции коник с неопределенными фокальными семействами ( всякие две смежные коники к-рой пересекаются с точностью до 2-го порядка малости) характеризуются принадлежностью всех коник конгруэнции одной квадрике. Конгруэнции коник, плоскости к-рых образуют однопараметрич. Две другие фокальные точки являются точками пересечения коники с характеристикой ее плоскости. [45]
Страницы: 1 2 3 4