Cтраница 1
Гладкие многообразия являются главным и, пожалуй, даже единственным инструментом исследования, поэтому им полностью посвящена гл. I работы, где их изучение проведено несколько более широко, чем это необходимо для дальнейших приложений. [1]
Гладкое многообразие задается с помощью атласа, карты которого перекрываются гладко. Следуя Терсто-ну [66], определим n - мерное орбиобразие ( без края) как отделимое паракомпактное пространство, локально гомеоморф-ное факторпространству R по действию некоторой конечной группы. [2]
Гладкое многообразие М, на котором задана всюду невырожденная замкнутая 2-форма ш, называется симплектическим, а форма ш называется симплектической формой. [3]
Гладкие многообразия любого несферического гомотопического типа, разумеется, не образуют группы. [4]
Являясь гладким многообразием, любая группа Ли G представима в виде дизъюнктного объединения связных компонент. [5]
Гладким многообразием класса Сг, r l, называется топологическое пространство, снабженное таким семейством локальных карт, что а) параметризованные окрестности покрывают М и б) замены координат являются Сг-диффеоморфизмами. [6]
Рассмотрим гладкое многообразие М с изометрическим вложением М Е К для некоторого Л 1; например. [7]
Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. [8]
Рассмотрим четырехмерное симплектическое гладкое многообразие, и пусть v sgradH - гамильтонова система с гладким гамильтонианом Я, интегрируемая по Лиувиллю при помощи некоторого гладкого интеграла f на какой-то неособой компактно. Ограничивая ин теграл f с многообразия М4 ( или с окрестности подмногообрази. [9]
Для гладкого многообразия М, отличного от ff1, отсутствие параллельного переноса делает определение ( 1) лишенным смысла, а правая часть ( 2) не может служить определением геометрического понятия, поскольку она изменяется при замене координат. Чтобы корректно определить на гладком многообразии М производную векторного поля в данном направлении, необходимо снабдить М некоторой дополнительной структурой, которая позволяла бы сопоставлять друг другу элементы касательных пространств в разных точках идущего в этом направлении пути. [10]
Для гладких многообразий это общее понятие эквивалентно более наглядному понятию линейно связного многообразия. [11]
Определение гладкого многообразия дает нам возможность выделить среди всех функций на многообразии М класс непрерывно дифференцируемых функций. [12]
Mk гладкого многообразия Мп ( рнманова или с аффинной связностью) такое, что гео - Оезические линии многообразия Л /, касающиеся Mk в точке х, имеют с Mk касание не ниже 2-го порядка. Ото свойство выполнено во всех точках, если любая геодезическая в Mk является и геодезической в Мп. [13]
В гладком многообразии любой гладкий узел является ручным, а в триангулируемом многообразии ручным будет любой полигональный узел. [14]
На любом гладком многообразии М в целом существуют ( гладкие) связности. [15]