Cтраница 3
Прямая D играет до некоторой степени универсальную роль для накрытий аффинных многообразий. [31]
С алгебраической точки зрения теория проективных многообразий строится параллельно теории аффинных многообразий с использованием однородных полиномов вместо произвольных полиномов в аффинном случае. Здесь мы дадим только краткое введение, приспособленное для дальнейших применений. [32]
Пусть теперь X с: Ал, У с Ат - произвольные аффинные многообразия. [33]
Из сделанных замечаний легко вытекает, что морфизм связного полного многообразия в аффинное многообразие обязан быть константой. В самом деле, его образ, будучи замкнутым множеством, является одновременно и полным и аффинным многообразием, а аффинное многообразие, регулярные функции на котором постоянны, состоит из одной точки. [34]
Точка в проективном многообразии обладает окрестностью, которая устроена в точности как аффинное многообразие. Такое локальное поведение проективных многообразий наводит на мысль пойти по этому пути далее. Имеется аналогия с теорией аналитических многообразий, где каждая точка имеет окрестность, неразличимую с открытым подмножеством евклидова пространства. Однако топология Зарисского не разделяет точки обычным образом; поэтому наша конструкция приведет ( в неприводимом случае) к покрытию аффинными открытыми множествами, которые в большой степени перекрываются друг с другом. [35]
Свести к случаю, когда М ж N неприводимы и М является аффинным многообразием. Далее воспользоваться тем, что если М - неприводимое аф финнов многообразие, то dimAf ст. тр. [36]
Доказать, что если линейное многообразие AN ( T) замкнуто, то аффинное многообразие ЛТ-1 ( х) также замкнуто. [37]
Идея топологизировать аффинное - пространство, приняв в качестве замкнутых множеств систему всех аффинных многообразий, оказывается весьма плодотворной. Она приводит к топологии, называемой топологией Зарисского. [38]
Аналогично, перейдя к вещественным координатам, легко убедиться, что всякий морфизм вложенных комплексных аффинных многообразий является в то же время морфизмом соответствующих вещественных многообразий. Поэтому операция овеществления имеет смысл, не зависящий от вложения. [39]
Следующие задачи показывают, что квазипроективные многообразия могут быть в известном смысле приближены аффинными многообразиями, а их морфизмы - морфизмами аффинных многообразий. [40]
В частности, конечно порожденная алгебра А совпадает с алгеброй многочленов на определяемом ею аффинном многообразии тогда и только тогда, когда в ней нет нилъпотентных элементов. [41]
Все слои конечного морфизма ф: Х - У, где X, Y - аффинные многообразия, конечны. [42]
Таким образом, и в том и в другом случае переход от одной формы задания аффинного многообразия к другой осуществляется с помощью решения некоторой системы линейных уравнений. А это является одной из основных задач линейной алгебры, для решения которой имеются эффективные методы. Именно поэтому в курсах линейной алгебры обычно не концентрируется внимание на том, что при решении конкретных вопросов относительно аффинного многообразия совсем не безразлично, в какой форме оно задано. [43]
Ввиду (6.1) нам требуется показать, что проекция pr2: XXZ - Z замкнута для любого аффинного многообразия Z. Так как многообразие У полно, то достаточно доказать, что фХ 1: XZ - yXZ является замкнутым отображением. [44]
Если х - внутренняя, в широком смысле, точка множества А, то Gx есть аффинное многообразие, порожденное множеством А, и Рх А. [45]