Cтраница 3
Напомним, что геометрическое поведение групп преобразований изучается в рамках современной топологии в следующих двух естественных ситуациях: ( i) топологические действия групп Ли ( или, более общо, топологических групп) на топологических многообразиях ( соотв. [31]
Главнейшие типы конечномерных многообразий и взаимоотношения между ними можно изобразить схемой ( 1), в которой Diff - категория дифференцируемых ( гладких) многообразии; PL - категория кусочно линейных ( комбинаторных) многообразий; TRI - категория топологических многообразии, являющихся полиэдрами; Handle - категория топологических многообразий, допускающих топологическое разложение на ручки; Lip - категория лишпице-вых многообразий ( с линшипе-выми отображениями перехода между локальными картами); ТОР - категория топологич. H ( ANR) - категория обобщенных многообразий ( конечномерных абсолютных окрестностных ретрактов X, к-рые являются гомологич. [32]
Разумеется, Pi-многообразие является топологическим многообразием. Однако не всякое топологическое многообразие, превращенное в сим-плициальный комплекс, является Pi-многообразием. Конус над симпли-циальным комплексом К обозначается через С К; добавляется одна новая вершина а вне К; комплекс СК состоит из всех отрезков, начинающихся в а и кончающихся в К. Триангуляция пространства С К - т.е. превращение его в симплициальный комплекс - самоочевидна. [33]
Во второй работе 1854 г. рассматриваются гипотезы, на которых основана геометрия. Пространство вводится как топологическое многообразие произвольного числа измерений, метрика в таком многообразии определяется с помощью квадратичной дифференциальной формы. В своем анализе Риман определял комплексную функцию по ее локальному поведению, здесь он таким зке образом определяет характер пространства. Рнман опубликовал эту статью без какой-либо формульной техники, что затруднило понимание его мыслей. [34]
Тогда М ( ю - топологическое многообразие ( локально замкнутое а М), и его замыкание М ю состоит из точек орбит типа, не превосходящего тип G / K. [35]
Для топологического многообразия X с краем В назовем G-пространство W над X специальным топологическим G-много-образием над X, если орбитный тип над Х - В постоянен, а орбитный тип над каждой компонентой из В постоянен и таков, что каждая неглавная орбита имеет окрестность, которая может быть наделена структурой гладкого специального G-много-образия. Тогда очевидно, что W - топологическое многообразие и что G действует на нем локально гладко. V действует на дисковом расслоении Мя над G / / C посредством эквивалентностей ортогонального G-расслоения. Обозначим через o / H ( G, X) множество классов топологической эквивалентности над X специальных топологических G-многообразий над X. Следующая теорема является прямым следствием теоремы классификации V.6.1 и представляет собой ее гладкий аналог. [36]
Q ( G) / G всегда является топологическим многообразием. При л 4 это факторпространство может уже иметь особенности. В частности, факторпространство четырехмерного шара по действию конечной ортогональной группы Z /, действующей свободно на граничной сфере, не является многообразием - это конус над линзовым пространством. [37]
Точки области полупространства Е §, принадлежащие его краю Ен-1, будем называть ее краевыми точками. Wk полупространства EQ или пространства Ek, называется топологическим многообразием. Очевидно, что каждая область пространства Ek гомеоморфна некоторой области полупространства Е, но для введения координатных систем удобнее рассматривать области обоих пространств. Известно, что понятие краевой точки топологически инвариантно. [38]
Теорема, Группа Г всех движений компактного G-npo - странства R представляет собой группу Ли. Если Г транзи-тивна на R, то R есть топологическое многообразие. [39]
Эти ( ко) гомологии можно рассматривать как гомологии ( ко) цепного комплекса, который является ( прямым) обратным пределом групп ( ко) цепей этих нервов, а, значит, размерности у этих пространств априори бесконечны. Построенная теория дает возможность при вычислении сигнатур использовать для топологических многообразий вместо индефинитных представлений фундаментальных групп непрерывные семейства характеров фундаментальной группы. [40]
Так как Gx V есть V-расслоение над G / H, то оно является многообразием. Следовательно, если М локально гладко, то оно должно быть топологическим многообразием. Категория всех локально гладких G-действип является, следовательно, эквива-риантным аналогом категории Тор топологических многообразий. [41]
Топологи изучают три типа многообразий - топологические ( или непрерывные) многообразия ( ТОР), кусочно-линейные многообразия ( PL), гладкие ( дифференцируемые) многообразия ( DIFF), а также соотношения между ними. Основная проблема топологии многообразий заключается в том, чтобы установить, когда топологическое многообразие допускает PL-структуру, и, если такая структура есть, выяснить, имеется ли согласованная с ней гладкая структура. С начала 50 - х годов известно, что любое топологическое многообразие М размерности 3 допускает единственную гладкую структуру. В высоких размерностях ситуация иная. Кроме того, при тех же ограничениях на размерность имеются препятствия к существованию гладкой структуры на PL-многообразии; они принимают значения в группах гомотопических сфер. В размерности 4 имеется одно важное упрощение, освобождающее нас от необходимости рассматривать кусочно-линейную категорию: каждое четырехмерное PL-многообразие допускает единственную согласованную гладкую структуру. [42]
Стоит отметить резкое отличие этой теоремы от результатов предыдущего параграфа. Поэтому из теоремы Рохлина и классификации Фридмана вытекает, что Е & существует как топологическое многообразие, но не существует как гладкое. [43]
Пространство К отличается от стандартного гладкой структурой. После краткого обсуждения понятия гладкой структуры на многообразии мы описываем алгебраические инварианты, которые используются для классификации четырехмерных топологических многообразий. Не все четырехмерные многообразия допускают гладкую структуру; мы формулируем характерные результаты о несуществовании, включая теорему Дональдсона. Наконец, объединив все изложенное, мы даем набросок доказательства существования на ( R экзотической гладкой структуры. [44]
Положим, что 0-пространство R симметрично и компактно. Из (49.6) и (52.4) следует, что группа Г всех движений пространства R является группой Ли и что R является топологическим многообразием. Существует риманова метризация R пространства R, инвариантная относительно преобразований группы Г ( см. Картан [3], стр. Таким образом, в случае компактности все результаты Картана относительно структуры симметрических ( в целом) пространств переносятся на Q-пространства. Заметим, что локально середины т ( х, у) сегментов, соединяющих х и у, в пространствах R и R совпадают; следовательно, геодезические этих пространств совпадают, и вдоль каждой геодезической расстояния в R и R отличаются лишь на множитель, зависящий, вообще говоря, от геодезической. [45]