Cтраница 2
Нижеследующее предложение G показывает, что в теории гомологии оснащенных многообразий можно ограничиться рассмотрением ортонормальных оснащений. Предложение Н дает подход к вопросу о гомотопической классификации ортонормальных оснащений подмногообразий евклидова пространства. [16]
Основной целью этого параграфа является доказательство теоремы 16 о том, что каждое оснащенное многообразие с хопфовским инвариантом, равным нулю, гомологично надстройке. [17]
Для доказательства инвариантности вычета 8 предварительно доказывается общая лемма 1, в которой оснащенное многообразие ( Af 1, С /), осуществляющее гомологию, подвергается улучшению. [18]
В дальнейшем будет показано ( см. теорему 10), что из гомологичности оснащенных многообразий следует гомотопность соответствующих отображений. [19]
В настоящем параграфе будет определена и до некоторой степени изучена операция надстройки над оснащенным многообразием, играющая важную роль в вопросе о гомотопической классификации отображений сферы в сферу. В каждой точке х ЕЕ Mh проведем в En K I единичный вектор ип 1 ( х), перпендикулярный к гиперплоскости J. Оказывается, что гомологичным оснащенным многообразиям соответствуют гомологичные надстройки и что возникающее так отображение Е группы Пп в группу Un i ( см. определение 6) есть гомоморфизм. [20]
В) Сопоставляя предложение А и теорему 19, мы видим, что каждое одномерное оснащенное многообразие трехмерного евклидова пространства гомологично оснащенному многообразию ( Sl, F ( f)), построенному в А, где г - - надлежаще выбранное целое число. [21]
Таким образом, проблема гомотопической классификации отображений сферы в сферу сводится к проблеме гомологической классификации гладко оснащенных многообразий. Следует, однако, признать, что вопрос о гомологической классификации оснащенных многообразий не является простым. [22]
При доказательстве теоремы 16, а также в некоторых других случаях желательно иметь дело со связными оснащенными многообразиями. Теорема 14 утверждает, что каждое оснащенное многообразие гомологично связному. Для доказательства этой теоремы приходится производить перестройку многообразия с тем, чтобы превратить его в связное. Перестройка эта довольно громоздко описывается в нижеследующем предложении А, но геометрический смысл ее прост и состоит в следующем. [23]
Докажем, наконец, главное свойство вычета б ( М1, U) - инвариантность относительно выбора оснащенного многообразия ( М1, U) из класса гомологии. [24]
Оказывается, что если при п 2 отображения / 0 и / г гомотопны между собой, то оснащенные многообразия ( Ml, С / 0) и ( М, 17г) гомологичны между собой. [25]
В) Сопоставляя предложение А и теорему 19, мы видим, что каждое одномерное оснащенное многообразие трехмерного евклидова пространства гомологично оснащенному многообразию ( Sl, F ( f)), построенному в А, где г - - надлежаще выбранное целое число. [26]
Каждому элементу я е П 1 поставим в соответствие целое число Y ( я) Y () гДе () есть оснащенное многообразие класса я. [27]
Из предложения С и теоремы 10 следует, что для доказательства теоремы достаточно установить гомологичность оснащенных нульмерных многообразий с одинаковым индексом и существование нульмерных оснащенных многообразий с любым индексом. [28]
Оснащенное многообразие ( ATfe 1, С /) целиком лежит в полосе 0 z / n fc i 1 пространства JEn fe 1 и осуществляет гомологию оснащенного многообразия ( Affe, U) U ( a ( Mk), а ( U)) нулю. [29]
Оказывается, что каждое гладкое оснащенное многообразие ( ЛГА, U) соответствует некоторому отображению сферы 2п 7с в сферу Sn и что отображения, которым соответствуют совпадающие гладко оснащенные многообразия, гомотопны между собой. Двум гомотопным между собой непрерывным отображениям могут, однако, соответствовать не только не совпадающие, но даже не гомотопные между собой оснащенные многообразия. [30]