Cтраница 3
Если ях и я2 - два класса гомологии, a ( Aff, UJ е ях и ( A /, U2) e Я2, то сумма ях я2 определяется как класс, содержащий объединение обоих оснащенных многообразий. Отсутствие запутанности означает, что многообразия MI и М % можно далеко отодвинуть друг от друга при помощи деформации каждого из них. Чтобы оба эти условия были осуществлены, предполагается, что многообразия MI и Af. [31]
Произвол в выборе оснащения приводит к многозначности. Оснащенные многообразия типа ( 5, VN соответствуют подгруппе 7 ( тгп ( 5О)), образу под действием гомоморфизма Уайтхеда ( см. § 3, гл. [32]
Полученное оснащенное многообразие определяет элемент стабильной гомотопич. [33]
Для одномерного оснащенного подмногообразия трехмерного пространства определены инварианты у и б; оказывается, что б есть вычет, получающийся от приведения по модулю 2 целого числа у. Так как каждое одномерное оснащенное многообразие получается при помощи надстроек из одномерного оснащенного подмногообразия трехмерного пространства ( см. теорему 11), то при классификации отображений сферы Еп 1в сферу Sn при п 3 можно использовать классификацию отображений трехмерной сферы в двумерную. [34]
Таким образом, два нульмерных оснащенных многообразия с одинаковыми индексами гомологичны между собой. Ясно также, что существуют нульмерные оснащенные многообразия с любым целым индексом. [35]
Связь между гомотопическими группами сфер и дифференцируемыми многообразиями была установлена Л. С. Понтрягиным в 30 - х годах. Эта связь служила основой метода оснащенных многообразий, разработанного Л. С. Понтрягиным для вычисления гомотопических групп сфер. [36]
При доказательстве теоремы 16, а также в некоторых других случаях желательно иметь дело со связными оснащенными многообразиями. Теорема 14 утверждает, что каждое оснащенное многообразие гомологично связному. Для доказательства этой теоремы приходится производить перестройку многообразия с тем, чтобы превратить его в связное. Перестройка эта довольно громоздко описывается в нижеследующем предложении А, но геометрический смысл ее прост и состоит в следующем. [37]
Пп представляет собой коммутативную группу. Нулем группы Пп служит класс гомологичных нулю оснащенных многообразий. Элемент - я, противоположный элементу я, можно описать следующим образом. [38]
Отсюда и из соотношения ( 18) вытекает, что при п 3 из б ( М1, W) 0 следует, что ( М1, ИО-0. F ( l))) 1, то оснащенное многообразие Еп-2 ( 51, F)) не гомологично нулю. Таким образом, установлено, что гомоморфизм б группы Пп в группу вычетов по модулю два есть изоморфизм на. [39]
То обстоятельство, что надстройка над отображением и надстройка над оснащенным многообразием соответствуют друг друг в смысле определения 5, доказывается легко, но доказательство здесь не приводится. Обозначим через ип 1 ( х) вектор, выходящий из точки х ЕЕ Мн и получаемый из вектора en h l параллельным переносом. [40]
Таким образом, проблема гомотопической классификации отображений сферы в сферу сводится к проблеме гомологической классификации гладко оснащенных многообразий. Следует, однако, признать, что вопрос о гомологической классификации оснащенных многообразий не является простым. [41]
Оказывается, что каждое гладкое оснащенное многообразие ( ЛГА, U) соответствует некоторому отображению сферы 2п 7с в сферу Sn и что отображения, которым соответствуют совпадающие гладко оснащенные многообразия, гомотопны между собой. Двум гомотопным между собой непрерывным отображениям могут, однако, соответствовать не только не совпадающие, но даже не гомотопные между собой оснащенные многообразия. [42]
Mfc 1 происходит регулярно и без самопересечений. Деформация многообразия Mfe 1 в многообразие Mfe 1 оставляет неподвижным край, и потому имеющаяся, в силу предложений В и G § 7, деформация оснащенного многообразия ( Mfc 1, U) в ортонормально оснащенное многообразие ( Mfc 1, V) оставляет оснащение на крае неизменным. [43]
В настоящем параграфе прежде всего определяется понятие деформации оснащенного многообразия. Если многообразие гладко, без самопересечений, деформируется в евклидовом пространстве, а его оснащение непрерывно следует за ним, то говорят, что мы имеем непрерывную деформацию оснащенного многообразия. Легко доказывается, что два оснащенных многообразия, получаемые друг из друга деформацией, гомологичны между собой. [44]
Хотя эта плоскость не является касательной к сфере G в точке - k, но она параллельна ей, и потому такая замена может повлечь лишь подобное преобразование оснащенного многообразия, что не меняет его класса гомологии. [45]