Cтраница 4
Mfc 1 происходит регулярно и без самопересечений. Деформация многообразия Mfe 1 в многообразие Mfe 1 оставляет неподвижным край, и потому имеющаяся, в силу предложений В и G § 7, деформация оснащенного многообразия ( Mfc 1, U) в ортонормально оснащенное многообразие ( Mfc 1, V) оставляет оснащение на крае неизменным. [46]
Роль / с-мерных и ( k 1) - мерных многообразий здесь видна. Гомологическая классификация нульмерных оснащенных многообразий тривиальна, и в соответствии с этим легко проводится классификация отображений сферы 2П в сферу Sn. Гомологическая классификация трехмерных оснащенных многообразий уже представляет значительные трудности. [47]
В настоящем параграфе будет определена и до некоторой степени изучена операция надстройки над оснащенным многообразием, играющая важную роль в вопросе о гомотопической классификации отображений сферы в сферу. В каждой точке х ЕЕ Mh проведем в En K I единичный вектор ип 1 ( х), перпендикулярный к гиперплоскости J. Оказывается, что гомологичным оснащенным многообразиям соответствуют гомологичные надстройки и что возникающее так отображение Е группы Пп в группу Un i ( см. определение 6) есть гомоморфизм. [48]
В настоящем параграфе прежде всего определяется понятие деформации оснащенного многообразия. Если многообразие гладко, без самопересечений, деформируется в евклидовом пространстве, а его оснащение непрерывно следует за ним, то говорят, что мы имеем непрерывную деформацию оснащенного многообразия. Легко доказывается, что два оснащенных многообразия, получаемые друг из друга деформацией, гомологичны между собой. [49]
Для осуществления гомологической классификации оснащенных многообразий в настоящей работе используются их гомологические инварианты. Оснащенному подмногообразию ( М, U) евклидова пространства En k ставится в соответствие его гомологический инвариант, который является одновременно гомотопическим инвариантом соответствующего отображения сферы 2П / С в сферу Sn. Инвариант у легко интерпретируется как гомологический инвариант оснащенного многообразия. III дается определение инварианта у, опирающееся на теорию гладких многообразий, а также его интерпретация как гомологического инварианта оснащенного многообразия. Из его существования вытекает, что число классов отображений сферы 2п 7с в сферу Sn при k 1, 2; п 2 не меньше двух. [50]