Cтраница 2
Теорема 8.12 имеет непосредственное приложение: для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий q 6 С. [16]
Однако Кундт, Герок и Бим предложили серии примеров глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, для которых времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. Таким образом, существуют глобально гиперболические пространства, которые являются простран-ственноподобно и времениподобно геодезически полными, однако изотропно неполны. [17]
В общей теории относительности уже давно было известно, что многие важные пространственно-временные многообразия являются непространственноподобно неполными. Тем не менее считалось, что эта неполнота вызвана симметрией рассматриваемых моделей. И поэтому было ощущение, что непространст-венноподобная полнота является разумным допущением для физически реальных пространственно-временных многообразий. [18]
Но если смотреть на вещи оптимистически, то можно заметить для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий существование определенной сгязи со свойствами ( А) и ( Г) теоремы Хспфа-Ринова. Вследстгке того что d ( р, q) О при q ф J ( р), сходимость произвольных последовательностей в ( М, g) относительно лоренцегсй функции расстояния не имеет смысла. В то же время времениподсбная полнота Ксши может быть определена ( см. разд. Для глсбгльно гиперболических пространств можно показать, что Ершенипсдсбная полнота Ксши и конечная компактность равносильны. [19]
На языке Минкбвского, это - мировые точки, выделенные в пространственно-временном многообразии пересечением в них мировых линий материи. Физика представляет собой доктрину о взаимосвязи между такими выделенными мировыми точками. [20]
Для доказательства теоремы 5.23 полезно убедиться в справедливости следующего утверждения о вещественных аналитических пространственно-временных многообразиях и локальных изометриях. U ( р), на которой F является изометрией. Тем самым локальные изометрии являются локальными, но не обязательно глобальными диффеоморфизмами. [21]
В частности, множество изотропного раздела и множество непространственнопо-добного раздела в глобально гиперболических пространственно-временных многообразиях, согласно предложению 8.29, замкнуты, даже если функция s: Т М - R U оо и не является полунепрерывной сверху. [22]
Учитывая все эти замечания, естественно задаться вопросом: можно ли найти класс пространственно-временных многообразий, для которых лоренцева функция расстояния принимает только конечные значения и или непрерывна. Одним из таких классов являются глобально гиперболические прсстрапетвспно-г. При доказательстве теорем о сннгу-лярностях в общей теории относительности информация о том, что ( М, g) глобально гиперболично и, значит, лорениева функция расстояния конечнозначна и непрерывна, оказывается чрезвычайно полезной. [23]
Основная идея эйнштейновской общей теории относительности состояла в том, чтобы определить метрику пространственно-временного многообразия через распределение материи и ее скорость так, чтобы в системе отсчета, относительно которой материя движется ускоренно, силы инерции появлялись автоматически. Последняя основана на том, что для всех тел отношение инертной ( входящей в основной закон механики) и тяжелой ( фигурирующей в законе всемирного тяготения) масс одинаково и его можно поэтому положить равным единице. Это равенство отнюдь не является очевидным. Но оно составляет основу общей теории относительности, подобно тому как отрицательный результат опытов по обнаружению эфирного ветра составляет основу специальной теории относительности. В общей теории относительности основной закон механики гласит: материальная точка ( или световой луч), на которую не действуют электромагнитные силы, в пространственно-временном многообразии описывает кратчайшую линию ( обобщенную прямую), причем метрика этого многообразия обусловлена распределением материи и ее скоростей. Эта связь математически выражается очень сложным образом, и мы не можем вывести ее здесь. Выражение для кратчайшей линии в неэвклидовой метрике тоже выглядит далеко не просто. Новое состоит в том, что сила тяготения, не принадлежащая к электромагнитным силам, при этом оказывается просто свойством пространства и что центробежные силы должны быть одинаковыми, когда Земля вращается вокруг своей оси и когда вся остальная вселенная вращается вокруг той же оси. [24]
Поэтому представляется целесообразным с самого начала не разделять пространство и время, а рассматривать четырехмерное пространственно-временное многообразие, которое мы вместе с Минковским кратко будем называть миром. [25]
Используя предложения 7.14 и 7.18, мы можем показать теперь, что все двумерные глобально гиперболические пространственно-временные многообразия причинно разделяемы. Установим сначала следующую лемму. [26]
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы привести образец принципа, согласно которому для сильно причинных пространственно-временных многообразий пределы почти максимальных кривых являются максимальными геодезическими. [27]
Сформулируем теперь в терминах глобальной геодезической структуры несколько критериев того, чтобы глобально гиперболические и сильно причинные пространственно-временные многообразия были причинно разделяемы. В частности, мы сможем показать, что все двумерные глобально гиперболические пространства являются причинно разделяемыми. Один из наших критериев ( предложение 7.18) вместе с теоремой 7.13 означает, что если сильно причинное пространство-время ( М, g) не содержит изотропных геодезических лучей, то ( М, g) содержит вре-мениподобную геодезическую прямую. [28]
Описанные римановы конструкции побуждают к изучению аналогичных теорем существования для геодезических лучей и прямых в сильно причинных пространственно-временных многообразиях. С точки зрения общей теории относительности желательно иметь конструкции, годные не только для глобально гиперболических подмножеств пространственно-временных многообразий, но также и для сильно причинных пространств. Однако если предполагать только сильную причинность, то в общем случае оказывается неверным утверждение о том, что причинно связанные точки можно соединить максимальным геодезическим сегментом. Поэтому для лоренцевых многообразий нужен чуть более слабый, чем для полных римановых многообразий принцип построения максимальных геодезических. Именно в сильно причинном пространстве-времени предельные кривые последовательностей почти максимальных кривых являются максимальными, а значит, п геодезическими. Сильная причинность нужна для того, чтобы обеспечить полунепрерывность сверху длины дуги в С - топологии на кривых, а также и возможность применения предложения 2.21. В разд. [29]
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать лоренцев аналог для глобально гиперболических односвязных в будущем пространственно-временных многообразий - теорему Чигера и Эбина ( 1975, теорема 5.11) о множестве раздела полного риманова многообразия, являющуюся обобщением теоремы Криттендена ( 1962) для односвязных групп Ли с биинвариантными римановыми метриками. [30]