Пространственно-временное многообразие

Cтраница 3

В этой главе мы займемся рассмотрением основных теорем, которые обеспечивают непространственноподобную геодезическую неполноту большого класса пространственно-временных многообразий. Каждое такое пространство-время содержит по крайней мере одну непространственноподобную геодезическую, которая является одновременно и непродолжаемой, и неполной. Такая геодезическая имеет концевую точку р в причинной границе дсМ, которую можно вообразить находящейся вне пространства-времени, но не на бесконечности. [31]

В соответствии с вышесказанным в общей теории относительности кроме геодезически неполных пространств изучаются также другие типы сингулярных пространственно-временных многообразий. [32]

Теперь должно быть понятным, что наряду со сходством между лоренцевой и римановой функциями расстояния, особенно для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, существуют также и поразительные различия. Однако, несмотря на эти различия, лоренцева функция расстояния имеет много полезных применений, подобных тем, которыми обладает риманова функция расстояния. [33]

Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать способ построения геодезических как пределов почти максимальных кривых в сильно причинных пространственно-временных многообразиях. В обеих конструкциях важную роль играют полунепрерывность сверху лоренцевой длины дуги в С - топологии на кривых для сильно причинных пространственно-временных многообразий и полунепрерывность снизу лоренцева расстояния. [34]

Таким образом, парадокс часов также является лишь непривычным для обычных представлений о пространстве и времени следствием псевдоевклидовой геометрии четырехмерного пространственно-временного многообразия. [35]

Показано пространство-время М К3 Т, которое является одно-связным и тем не менее неодносвязно в будущем. Направленные в будущее вре-мениподобные кривые YI п. 2 из Р в q не гомотопны в классе времепиподобпых кривых с концами р н q. [36]

Мы заключим этот раздел одним приложением теоремы Морса о времениподобном индексе к исследованию структуры множества раздела односвязных в будущем глобально гиперболических пространственно-временных многообразий ( см. Бим и Эрлих ( 1979в, разд. [37]

Уленбек ( 1975), Эверсон и Толбот ( 1976) и Вудхуаз ( 1976) изучали теорию Морса для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий; нами ( см. Бим и Эрлих ( 1979 в, г)) опубликовано схематическое изложение теории Морса для непространственноподобных геодезических в произвольных пространственно-временных многообразиях. [38]

Важность множества раздела в римановой геометрии наводит на мысль изучения аналогичных понятий и результатов для вре-мениподобных и изотропных геодезических в пространственно-временных многообразиях. [39]

Уилер [1] заметил, что в квантовой теории гравитации на мелкомасштабных расстояниях следует ожидать очень больших флуктуации метрики и даже топологии пространственно-временного многообразия. Объясняется это тем, что в отличие от действия для полей Янга - Миллса или электромагнитного действие для гравитационного поля не обладает масштабной инвариантностью. Это означает, что сильные флуктуации метрики на мелкомасштабных расстояниях не обладают очень большим действием, поэтому их вклад в континуальный интеграл не подавлен. Более того, метрика может изменить топологию, даже если действие не возрастает больше, чем на произвольно малую величину. По схеме Редже пространственно-временное многообразие разлагают в симплициальный комплекс. Однако углы между гранями ( 2-симплексами) в общем случае таковы, что 4-симплексы невозможно объединить в плоское 4-мерное пространство. Таким образом, существует некое искажение, представимое в виде б-функции, сосредоточенной на гранях. [40]

Не отождествление времени и пространства, а совместное изучение их свойств путем разработки своеобразной геометрии ( точнее следовало бы сказать хроногеометрии) четырехмерного пространственно-временного многообразия - такова основная тенденция теории Эйнштейна. Но уже и в рамках частной теории относительности целесообразно облечь ее основные положения в геометрическую форму. [41]

Если использовать геометрическую терминологию ( см. Приложение А), то на основании сказанного выше мы видим, что принцип относительности определяет геометрию четырехмерного пространственно-временного многообразия как псевдоевклидову геометрию, в которой инвариантное скалярное произведение выражается формулой ( А. Интервал ds2 интерпретируется, таким образом, как квадрат длины четырехмерного радиуса-вектора, характеризующий пространственно-временное расстояние между соответствующими физическими событиями, не зависящее от выбора инерциальной системы отсчета. Коэффициенты преобразований Лоренца связаны при этом уравнениями ( А. Геометрический смысл этих параметров очевиден: так как преобразование Лоренца представляет собой, как видно из предыдущего, вращение в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве, оставляющее инвариантным интервал ds2, то оно может быть разложено на шесть независимых вращений по числу взаимно ортогональных плоскостей четырехмерного пространства. Ясно, что совокупность преобразований Лоренца образует группу. Обычные вращения трехмерного евклидова пространства ( определяемые условиями dr2 dr 2 и dt dt), очевидно, также удовлетворяют определению преобразований Лоренца; они составляют подгруппу группы Лоренца. [42]

T) uv diag ( I, - 1, - 1, - 1) ( псевдоэвклидова метрика сигнатуры - 2); пространственно-временное многообразие с такой метрикой наз. В общей теории относительности вводится метрич. [43]

Исключительный интерес представляют однопараметрические группы преобразований, которые не изменяют величины действия ( или изменение действия является бесконечно малой величиной порядка, высшего чем е) любой 4-области пространственно-временного многообразия. [44]

Используя леммы 7.5 и 7.6, докажем сначала предложение, необходимое для доказательства существования не только непространственноподобных геодезических лучей, но также и существования непространственноподобных геодезических прямых в сильно причинных причинно разделяемых пространственно-временных многообразиях ( разд. Пусть Вп и d Bn I: Bn x Вп - - К те же, что и в разд. [45]

Страницы: 1 2 3 4