Cтраница 2
Конкретные формулы дифференцирования всех трех систем классических ортогональных многочленов будут рассмотрены ниже в гл. [16]
В настоящей главе рассмотрены общие свойства классических ортогональных многочленов как единой системы. При этом из общих формул и теорем получены некоторые простые и конкретные свойства многочленов Чебышева - Эрмита, Чебышева - Лагерра, Чебышева, Лежандра и общих многочленов Якоби. В последующих главах эти простые свойства для каждой системы отдельно будут доказаны более элементарно. [17]
В настоящей главе изложены основные свойства классических ортогональных многочленов. Рассмотрим их в общей совокупности. [18]
В настоящем параграфе доказывается, что производные классических ортогональных многочленов ортогональны на том же интервале и также входят в систему классических ортогональных многочленов. [19]
В настоящем параграфе мы докажем, что классические ортогональные многочлены являются собственными функциями некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Частные случаи этого уравнения появляются при исследовании различных задач физического и технического содержания. Этим собственно и объясняется та важная роль, которую играют классические ортогональные многочлены в вычислительной математике и в прикладных задачах. [20]
Большое внимание в книге уделяется асимптотическим свойствам классических ортогональных многочленов. С полными доказательствами приведены основные теоремы о разложении функций в ряды Фурье по многочленам Чебышева, Лежандра, Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и по многочленам Якоби в общем случае. Рассмотрено также много примеров разложения функций в ряды Фурье по указанным системам многочленов. [21]
При переходе к двум переменным наиболее важные обобщения классических ортогональных многочленов Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагер - ра и Якоби получаются в тех случаях, когда исходными являются допустимые дифференциальные операторы эллиптического типа. Перечислим наиболее характерные такие случаи. [22]
В теории ортогональных многочленов он глубоко исследовал свойства общих и классических ортогональных многочленов. [23]
Именно при таком выборе коэффициентов сп в формуле Родрига (3.8) классические ортогональные многочлены наиболее удобны для изучения и применения. [24]
Другой, весьма обширный класс неравенств может быть получен для классических ортогональных многочленов. В настоящей главе мы укажем и сравним различные методы, применяемые для вывода этих неравенств. За исключением интегральных представлений и рядов, основным инструментом исследования являются дифференциальные уравнения. [25]
Эти формулы для коэффициентов ап и Ъп применяются для получения нормированных классических ортогональных многочленов и для подсчета коэффициентов в рекуррентных формулах и формулах Кристоффеля-Дарбу. [26]
В книге Б.Р. Левина Теоретические основы статистической радиотехники [ IX.4 ] все классические ортогональные многочлены применяются для разложения плотности вероятности. [27]
В теории ортогональных многочленов двух переменных хорошо известны и подробно изучаются классические ортогональные многочлены Аппеля по двум переменным. Эти многочлены являются наиболее характерным и нестандартным обобщением многочленов Якоби на случай двух переменных. [28]
В связи с этим во многих учебных пособиях по высшей математике классическим ортогональным многочленам уделяется все больше внимания. Однако в большинстве случаев этим многочленам посвящаются лишь отдельные главы, в которых излагаются элементарные их свойства и простейшие применения. [29]
Еще раз заметим, что все эти системы ортогональных многочленов называются классическими ортогональными многочленами. [30]