Cтраница 3
Разумеется, метод Лиувилля-Стеклова можно изложить в общем виде применительно ко всей системе классических ортогональных многочленов. Но наибольший эффект достигается в том случае, когда этот метод применяется к конкретным частным системам классических ортогональных многочленов ( многочлены Лежандра, Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общие многочлены Якоби), ибо в каждом из этих случаев условия применения метода различны и поэтому получаются различные асимптотические формулы с различными оценками остаточных членов. [31]
В том частном случае, когда функции уп ( z) совпадают с классическими ортогональными многочленами, Qn ( и) являются соответствующими функциями второго рода. [32]
Таким образом, в настоящем и следующих параграфах как единый случай рассматриваются все три семейства классических ортогональных многочленов. [33]
Но среди всевозможных систем наиболее важное теоретическое, а также и прикладное значение имеют так называемые классические ортогональные многочлены. [34]
В работах Н.П. Фадеева [ XI.38, XI.39 ], а также в других его работах подробно рассмотрены аналоги классических ортогональных многочленов в случае двух симметричных относительно начала координат интервалов ортогональности. [35]
Издательством Наука эта книга была издана дважды в 1976 г. и в 1979 г. С того времени области применения классических ортогональных многочленов значительно расширились и теоретическое значение этих многочленов также возросло. [36]
В настоящем параграфе доказывается, что производные классических ортогональных многочленов ортогональны на том же интервале и также входят в систему классических ортогональных многочленов. [37]
В нашей книге [97 ] ( § § 24 - 25) рассмотрены работы А. А. Адамова, В. А. Стеклова, К. А. Поссе и С. Н. Бернштейна, посвященные асимптотическим свойствам классических ортогональных многочленов. [38]
Рп ( х) допускают представление (V.26), причем все функции ( Q ( х) рп ( х) имеют нули в двух фиксированных точках а Ъ вещественной оси и Q () () для а х Ъ, то Рп ( х) - классические ортогональные многочлены. [39]
С i относительно х, которые могут зависеть и от п, и вывел условия, при которых оно имеет частным решением ортогональные многочлены; он нашел четыре типа таких ортогональных многочленов, зависящих от k ( 1 / с З) параметров, - они являются обобщением классических ортогональных многочленов и многочленов Лом-меля; для этих четырех типов он нашел производящую функцию и коэффициенты рекуррентной формулы. [40]
По всем этим направлениям получены многочисленные результаты, в которых фигурируют весовые функции с различными свойствами. Но даже для классических ортогональных многочленов, когда весовые функции имеют конкретный вид, многие результаты не являются законченными. [41]
Большое число работ посвящено исследованию классических ортогональных многочленов как единой системы. II установлены пять свойств классических ортогональных многочленов. [42]
Наиболее важные применения ортогональные многочлены находят в методах расчета и проектирования систем управления. В этой монографии рассматриваются свойства классических ортогональных многочленов, а затем эти многочлены применяются к решению конкретных задач расчета и проектирования систем управления. При построении алгоритмов исследования стационарных систем управления разрабатываются конкретные методы обращения преобразования Лапласа с помощью классических ортогональных многочленов. [43]
Такие ортогональные многочлены называются классическими. В настоящем параграфе установлено, что классические ортогональные многочлены образуют три отдельные семейства: обобщенные многочлены Чебышева-Эрмита, обобщенные многочлены Чебышева-Лагерра и обобщенные многочлены Якоби. Каждое из этих семейств получается линейными преобразованиями независимого переменного и умножением на постоянные соответственно из многочленов Чебышева-Эрмита, многочленов Чебышева-Лагерра и многочленов Якоби. [44]
Соответствующие многочлены называются обобщенно-классическими многочленами Чебышева-Эрмита. Для этих многочленов доказываются пять свойств, аналогичных свойствам классических ортогональных многочленов. [45]