Cтраница 4
Из результатов предыдущего и настоящего параграфов следует, что необходимо рассматривать условия, при которых произвольная функция двух переменных разлагается в ряд Фурье по ортогональным многочленам двух переменных. Этот вопрос не совсем ясен даже в простейших случаях, когда рассматриваются различные произведения классических ортогональных многочленов по разным переменным. [46]
Более подробно изучены свойства нулей ортогональных многочленов. При этом рассматриваются асимптотические свойства нулей как в общем случае, так и в случае классических ортогональных многочленов. [47]
Разумеется, метод Лиувилля-Стеклова можно изложить в общем виде применительно ко всей системе классических ортогональных многочленов. Но наибольший эффект достигается в том случае, когда этот метод применяется к конкретным частным системам классических ортогональных многочленов ( многочлены Лежандра, Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общие многочлены Якоби), ибо в каждом из этих случаев условия применения метода различны и поэтому получаются различные асимптотические формулы с различными оценками остаточных членов. [48]
Ввиду общепризнанных заслуг П.Л.Чебышева в развитии общей теории ортогональных многочленов в иностранной литературе и особенно во французских книгах и статьях продолжительное время общие ортогональные многочлены Вп ( х) в случае произвольного веса h ( x) и произвольного интервала ( а, Ь) назывались многочленами Чебышева, и это наименование до недавнего времени фигурировало в названиях многих работ по общей теории ортогональных многочленов. Однако в отечественной литературе это название не удержалось, и теперь с именем П.Л. Чебышева связываются только четыре конкретные системы классических ортогональных многочленов. [49]
Сделанные нами дополнения не могут, конечно, претендовать на исчерпывающую полноту. Кроме того, вполне естественно, что они носят на себе отпечаток индивидуальных интересов их автора - например, сделано гораздо больше дополнений к теории многочленов, ортогональных относительно произвольного распределения da ( x) типа Стилтьеса, чем к частному случаю классических ортогональных многочленов. [50]