Множество - кантор
Cтраница 3
 |
Построение классического канторова множества ( а и двухмасштаб-ного канторова множества с параметрами ft и v ( б. [31] |
Кантора или, как его называет Мандельброт, канторова пыль. Ясно, что множество Кантора удовлетворяет определению фрактала: каждый его фрагмент, полученный из какого-то отрезка на некотором уровне построения, подобен всему множеству и переходит в него при соответствующем пересчете масштаба. [32]
Кантора, полученное из К1 удалением счетного семейства дизъюнктных интервалов без общих концов, совершенно. Заметим, что множество Кантора получено из сегмента единичной длины удалением интервалов, схема длин которых равна единице. [33]
 |
Решето Серпинского. [34] |
Она стремится к нулю, когда и - со. Это означает, что множество Кантора имеет меру Лебега ( то есть, грубо говоря, общую длину), равную нулю, и нулевую топологическую размерность. [35]
 |
Первые два шага построения аттрактора Смейла-Вильямса.| Вид сечения аттрактора Смейла-Вильямса на первых шагах его построения. [36] |
На рис. 2.14 показано, как выглядит поперечное сечение исходного тора после однократного и двукратного применения отображения. Это похоже на процедуру построения множества Кантора: на каждом шаге в сечении имеется некоторое число дисков. [37]
Такие формулировки, как то, что является общим для... Тенденция экстенсионального описания понятий, берущая начало в теории множеств Кантора, называется экстенсионализмом. [38]
Солидная часть материала, необходимого для изучения фракталов и хаоса, включена в основной текст книги. Кратко изложены введение в теорию множеств, аффинные преобразования, метрические пространства, множества Кантора и кривые Пеано. За исключением материала седьмой главы, книга содержит только несколько доказательств, требующих серьезной подготовки на уровне продвинутого курса математического анализа. [39]
Однако это не так, что подтверждается следующим свойством. Удивительный результат сравнения множества Кантора с интервалом состоит в том, что мощности этих множеств равны. Два множества обладают равной мощностью, если существует взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств. В случае конечных множеств данное утверждение тривиально. Для бесконечных множеств, таких как интервал или множество Кантора, понятие мощности требует аккуратного обращения. В качестве простой иллюстрации сказанного достаточно заметить, что отрезки [0, 1] и [0, 2] - равной мощности, несмотря на то, что второй интервал в два раза длиннее первого. [40]
Большая часть начальных условий приводит к убеганию на бесконечность, но некоторые точки не уходят из единичного интервала. Как устроено это множество точек. Нетрудно показать, что это множество Кантора. [41]
Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть - интервал ( 1 / 3; 2 / 3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та лее операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора. [42]
Мера счетного множества точек равна нулю. Но не следует думать, что это свойство характеризует счетное множество. Действительно, можно привести пример ( триадическое множество Кантора) несчетного множества точек в интервале ( О, 1), которое, однако, не содержит ни одного интервала ( кн. II, гл. Поэтому если даже ограничиваться прямой линией, то и тогда общее понятие меры представляет значительные трудности. [43]
Данное следствие имеет непосредственное отношение к фракталам, которые образуются последовательным устранением открытых множеств. Используя это следствие, получаем, что аппроксиманты ( рис. 2.20) сходятся к множеству Кантора в метрике Хаусдорфа. [44]
Следует отметить ту неоценимую роль, которую сыграли для науки о динамическом хаосе казалось бы абстрактные исследования, диктовавшиеся внутренней логикой развития самой математики. Разработанные великим немецким математиком Георгом Кантором ( 1845 - 1918) представления о бесконечных множествах, их сравнении посредством установления взаимно-однозначного соответствия, определение счетного множества и континуума, знаменитый пример множества Кантора служат рабочими инструментами исследователей в области нелинейной динамики. Эти концепции будут неоднократно встречаться в нашем курсе. Нетривиальное обобщение понятия размерности, применимое к таким множеством, было разработано немецким математиком Феликсом Хаусдорфом ( 1868 - 1942) и также стало рабочим инструментом в нелинейной динамике. [45]
Страницы: 1 2 3 4