Множество - кантор
Cтраница 4
Точка х множества А есть изолированная точка этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества А. Множество называется совершенным, если оно замкнуто и не содержит изолированных точек. Все разновидности множества Кантора также являются совершенными множествами. [46]
Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример. [47]
 |
Построение множества Кантора. [48] |
На k - м этапе будем иметь 2fc отрезков, не связанных друг с другом, длиной 3 - Л каждый. При k - получим некоторое множество точек, которое и называется множеством Кантора. [49]
Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример. [50]
При применении математических методов к решению прикладных задач возникают новые математические структуры, которые часто начинают потом изучаться сами по себе, без связи с теми конкретными задачами, которые их породили. Происходит это и сейчас, когда создаются математические модели в экономике, биологии, теории управления и других науках. Дать оценку результатам теоретического изучения новых математических моделей, как и вообще любым теоретическим исследованиям, непосредственно тогда, когда они выполнены, бывает очень трудно, и история знает немало примеров допущенных ошибок при оценке новых теорий. Достаточно вспомнить осуждение Остроградским неевклидовой геометрии, созданной Лобачевским, или враждебное отношение Кронекера к теории множеств Кантора, или порицание многими математиками таких направлений, как топология и математическая логика на заре их создания. И здесь дело не в изолированной точке зрения отдельных ученых: например, в упомянутых случаях и Остроградский и Кронекер являлись выразителями мнения большой авторитетной группы математиков. [51]
Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример. [52]
Однако это не так, что подтверждается следующим свойством. Удивительный результат сравнения множества Кантора с интервалом состоит в том, что мощности этих множеств равны. Два множества обладают равной мощностью, если существует взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств. В случае конечных множеств данное утверждение тривиально. Для бесконечных множеств, таких как интервал или множество Кантора, понятие мощности требует аккуратного обращения. В качестве простой иллюстрации сказанного достаточно заметить, что отрезки [0, 1] и [0, 2] - равной мощности, несмотря на то, что второй интервал в два раза длиннее первого. [53]
Страницы: 1 2 3 4