Cтраница 3
В отличие от игр трех лиц, составляющих лишь два класса стратегически эквивалентных игр, игры четырех лиц являются весьма разнообразными. Среди них имеется континуальное множество классов стратегической эквивалентности, естественным образом описываемых точками куба. Фон Нейман и Моргенштерн находят решения для игр, соответствующих некоторым областям этого куба. Полные множества решений указываются ими лишь для вершин куба. [31]
На точках многообразия М имеется индуцированное отношение эквивалентности: точки х и у эквивалентны, если они лежат в одной орбите группы G. Пусть M / G обозначает множество классов эквивалентности или, что равносильно, множество орбит группы G. В частности, n ( g - x) л ( л) для любого g G, такого, что g - x определено. [32]
В такой форме основные уравнения и масштабные условия были использованы в [5], чтобы совершенно строго свести всю группу преобразований ( 6) только к трем возможным преобразованиям. Фактически каждое из них является множеством классов эквивалентности порядка, точнее, множеством классов асимптотической эквивалентности в том смысле, что все его элементы приводят в первом приближении к одному и тому же решению. [33]
В, а)) и множеством классов эквивалентности над X G-пространств над X с данными регулярным и сингулярным расслоениями. [34]
Нам уже неоднократно приходилось сопоставлять разные множества и отношения на них. Или множество с заданным на нем квазипорядком и множество классов эквивалентности и индуцированным порядком. В этой главе мы введем важные общие понятия, позволяющие говорить о сопоставлении различных множеств с заданными на них отношениями. Сопоставить эти отношения - это значит соотнести элементам множества L какие-то элементы множества М и указать, какую информацию о выполнении отношения В несет тот факт, что между некоторыми элементами множества М выполнено отношение А. Запись а: А М - ( В, L) будет обозначать далее, что а - отображение множества М в множество L, а ( А М) и ( B L) - отношения. [35]
Изменим соответственно наши обозначения. Начиная с этого момента, A ( d) обозначает множество классов эквивалентности неприводимых каспидальных С г представлений группы GLd ( K) с центральным характером конечного порядка, a 6 ( d) обозначает множество классов эквивалентности неприводимых d - мерных Q - представлений группы Gdl ( K / K) с детерминантом конечного порядка. [36]
Следовательно, экспериментальные шкалы наименований и порядка, используемые при наличии случайных возмущений, не являются гомоморфными. Экспериментальная процедура, основанная на применении таких шкал, является измерительной процедурой, результатом которой служит оценка принадлежности объекта измерения к одному из множества классов эквивалентности. [37]
Изменим соответственно наши обозначения. Начиная с этого момента, A ( d) обозначает множество классов эквивалентности неприводимых каспидальных С г представлений группы GLd ( K) с центральным характером конечного порядка, a 6 ( d) обозначает множество классов эквивалентности неприводимых d - мерных Q - представлений группы Gdl ( K / K) с детерминантом конечного порядка. [38]
Напомним, что в соответствии с разделом 2.3 заданное внешнее полное поведение определяется функцией /: X - Y, где X-входной алфавит, X - множество всех цепочек над входным алфавитом плюс пустая цепочка, a Y - выходной алфавит. Элемент / ( х) есть конечный выходной символ, определяемый входной цепочкой к при условии, что автомат начинает работать из заданного начального состояния. Множество классов эквивалентности, умножение которых задается сочленением соответствующих цепочек, определяет полугруппу автомата. [39]
Итак, мы видим, что множество всех классов эквивалентности порядка много больше множества действительных чисел. В нем можно ввести топологию с помощью следующих двух определений. Назовем множество S классов эквивалентности порядка выпуклым, если из того, что ord у S, ord 6 е S и ord у 1 ord ц ord 8, следует, что также и ord i е S. Назовем множество S классов эквивалентности порядка выпукло-открытым, если оно выпукло и если при ord eS существуют такие v ( e) e и 6 ( е) ей, что ord i Z. Множество называют открытым, если оно является объединением выпукло-открытых множеств. [40]
Логические исследования самого Буля привели к понятию, которое мы теперь называем булевой алгеброй. Фундаментальная теорема Стоуна о представлениях булевых алгебр дает возможность широких приложений теории булевых алгебр к метаматематике. Метод рассмотрения множества формул или множества классов эквивалентности формул как универсальных алгебр, предложенный Липденбаумом и Тарским, оказался важным орудием исследований. Он устанавливает связь между метаматематикой теорий, основанных на классической логике, и теорией булевых алгебр. [41]
Логические исследования самого Буля привели к понятию, которое мы теперь называем булевой алгеброй. Фундаментальная теорема Стоуна о представлениях булевых алгебр дает возможность широких приложений теории булевых алгебр к метаматематике. Метод рассмотрения множества формул или множества классов эквивалентности формул как универсальных алгебр, предложенный Липденбаумом и Тарским, оказался важным орудием исследований. Он устанавливает связь между метаматематикой теорий, основанных на классической логике, и теорией булевых алгебр. Работы Стоуна и Тарского о взаимоотношении между интуиционистской логикой и импликативньши решетками, а также дальнейшие работы Мак-Кинси и Тарского о методах теории решеток в интуиционистском и модальном пропозициональных исчислениях установили аналогичную связь для метаматематики соответствующих неклассических теорий. Большое значение имеет здесь также и другой подход к исследованиям: интерпретация формул пропозициональных исчислений как отображений в некоторых решетках. Эта интерпретация является обобщением давно уже используемого в логике метода истинностных таблиц. Распространение этого метода на интуиционистское предикатное исчисление впервые было предложено Мостовским в связи с проблемами невыводимости формул. [42]
Таким образом, элементы, на которых отношение А не рефлексивно, ни с кем не связаны отношением А. Множество классов эквивалентности обозначим через L. [43]
Скажем, что многообразия V и W эквивалентны, если V W и W V. Обозначим через [ V ] класс эквивалентных многообразий, содержащий V. Множество классов эквивалентности многообразий относительно отношения образует решетку. Она называется решеткой типов представимости многообразий. Отметим, что введенная эквивалентность многообразий достаточно груба - так, в одном классе, например, лежат многообразие всех полугрупп и многообразие всех множеств ( см. ( 46), с. Более естественна введенная А. И. Мальцевым ( см. [24], с. Она равносильна изоморфизму клонов главных производных операций свободных алгебр счетного ранга этих многообразий. [44]
Итак, мы видим, что множество всех классов эквивалентности порядка много больше множества действительных чисел. В нем можно ввести топологию с помощью следующих двух определений. Назовем множество S классов эквивалентности порядка выпуклым, если из того, что ord у S, ord 6 е S и ord у 1 ord ц ord 8, следует, что также и ord i е S. Назовем множество S классов эквивалентности порядка выпукло-открытым, если оно выпукло и если при ord eS существуют такие v ( e) e и 6 ( е) ей, что ord i Z. Множество называют открытым, если оно является объединением выпукло-открытых множеств. [45]