Cтраница 1
Множество меры нуль E0 ( f), на котором этот предел не существует, и значение f0 ( t) предела, там где он существует, очевидно, зависят только от класса эквивалентности /; и если / 0 доопределить на всем интервале /, положив М00 Для t Eo ( f), то / о будет принадлежать классу эквивалентности / ( Хилле и Филлипс [1], стр. [1]
Множество меры нуль, на котором ( 4) не выполнено, зависит от / ( t), а также от К. Это обстоятельство нужно в дальнейшем иметь в виду. [2]
Поэтому множество меры нуль, где он может расходиться, зависит от сделанной перестановки членов. [3]
Существуют множества двумерной меры нуль такие, как точка, отрезок, гладкая или кусочно-гладкая кривая. [4]
Подмножество множества меры нуль измеримо. [5]
Определение множества меры нуль корректно и не зависит от выбора атласа карт. [6]
Подмножество множества меры нуль измеримо. [7]
Понятие множества меры нуль позволяет в полной аналогии со случаем - мерной области ( см. пп. S и связанные с ним понятия измеримой на S и интегрируемой по Лебегу на S функции. [8]
Подмножество множества меры нуль измеримо. [9]
Следующее свойство множеств меры нуль - ключевое для нашего варианта теоремы Сарда. [10]
Всякое подмножество множества меры нуль само является множеством меры нуль. [11]
Счетное объединение множеств меры нуль имеет меру пуль. [12]
Если на множестве полной меры, для которого выполняется включение - J ( t) е М ( X ( t)), существует точка t такая, что X ( t) - 0, то OeM ( X ( t)), и, следовательно, f достигает в точке f ( t) минимума. Таким образом, в рассматриваемом случае решение дифференциального включения ( I) приводит к ииншлуму. [13]
С точностью до множества меры нуль это единственная мера в М, инвариантная относительно сдвигов. Благодаря тому счастливому обстоятельству, что классическую меру ( 8) можно продолжить как счетно-аддитивную меру на сигма-алгебру, содержащую все шары, теория интеграла в некоторой степени упрощается. Небольшое неудобство связано с множествами меры нуль и вызвано тем, что подмножество множества меры нуль может оказаться неизмеримым. Рассмотрим произвольное подмножество - / с (, которое не является борелевским множеством в одномерном пространстве. Можно обойти эту трудность, если условиться считать, что все подмножества любого множества меры нуль являются измеримыми и имеют меру нуль. [14]
Поскольку EQ есть множество меры нуль и VQ удовлетворяет условию ( С), то мы доказал, что Vo почти отрицательно полуопределепа. Доказательство того факта, что каждая полная производная функции V почти положительно полуопределена, совершенно аналогично. [15]