Cтраница 3
Теорема Кантора - Лебега, утверждающая, что если ряд 2 спегпх сходится на множестве положительной меры, то сп - 0 при п - оо [ гл. [31]
Если бы один из рядов аф или cr ( g) сходился на некотором множестве положительной меры, то и другой сходился бы на нем почти всюду. Это будет доказано в § 23 главы VIII. А тогда и ряд (19.8), который имеет вид о ( /) г а ( е) сходился бы на множестве меры больше нуля. [32]
Теперь мы можем приступить к доказательству 1.7.4. Предположим что рассматриваемый ряд Радемахера сходится на множестве положительной меры. [33]
Допустим теперь, что (6.2) выполняется, сп - 0 и ряд (6.3) сходится на множестве положительной меры. По вышеприведенному замечанию он должен сходиться почти всюду. [34]
При этом А ( х) может обращаться в - - или в - на множестве положительной меры. [35]
Допустим теперь, что (6.2) выполняется, сп - ч0 и ряд (6.3) сходится на множестве положительной меры. По вышеприведенному замечанию он должен сходиться почти всюду. [36]
Пусть дано одно семейство 50 и среди функций из gQ не обращающихся в ноль на множестве положительной меры. [37]
Допустим теперь, что (6.2) выполняется, ctl - О и ряд (6.3) сходится на множестве положительной меры. По вышеприведенному замечанию он должен сходиться почти всюду. [38]
Кроме того, для выполнения любого из этих условий достаточно, чтобы fn - 0 на множестве положительной меры. [39]
В силу равенства (16.13) при любом п функция fn ( s) отлична от нуля на множестве положительной меры. [40]
Возникает вопрос, должен ли тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, сходиться на множестве положительной меры. [41]
Поэтому, если функция / неограннчена на множестве Е, то она неограничена и на некотором множестве Et положительной меры. [42]
Пусть Т - инвариантное з-кольцо, порожденное принадлежащими ему множествами конечной меры и содержащее хотя бы одно множество положительной меры. [43]
Мы видели ( см. глава I, § 62), что если тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю. С другой стороны ( см. глава I, § 63), существуют всюду расходящиеся ряды с коэффициентами, стремящимися к нулю. [44]
Изучая производные Валле-Пуассена, Ю. Б. Гермейер показал, что эти производные порядка 3 могут обращаться в бесконечность на множестве положительной меры. Заметим, что для обычных и асимптотических производных это невозможно. [45]