Cтраница 3
Примером такой системы многочленов, обладающей свойством ортогональности на отрезке - 1Е1, является множество многочленов Лежандра Рр ( %), и базисные функции могут быть выражены через интегралы от этих многочленов. [31]
Если матрицы А и В подобны, то множество многочленов, аннулирующих матрицу А, совпадает с множеством многочленов, аннулирующих матрицу В. В частности, минимальные многочлены подобных матриц равны. [32]
Точно так же шкала, состоящая из функций ехр ( р ( х)), где р пробегает множество Рд многочленов без свободного члена, имеет структуру порядка, изоморфную структуре порядка множества Р0, в котором отношение рд означает, что старший член многочлена д - р имеет строго положительный коэффициент ( см. Алгебра, гл. [33]
Алгебраическая система S - это обычно множество целых или множество рациональных чисел; либо же она сама может быть множеством многочленов ( от других переменных); в последнем случае многочлен ( 1) является многочленом от нескольких переменных. [34]
Пусть uh ( t) g - произвольная Г - систома на [ в, 6 ], и ( t) - кусочно-непрерывная функция. Множество многочленов Р ( t), обладающих свойствами: Р ( t) Q ( г), причем Р ( t) - Q ( t) на множестве точек, сумма индексов которых ге 1 - компактно. [35]
Произведение нескольких многочленов определяется обычным образом и нетрудно проверить ( например, рекуррентным рассуждением), что оно ассоциативно, коммутативно и дистрибутивно но отношению к сложению многочленов. Множество многочленов составляет, таким образом, коммутативное кольцо. [36]
В теореме о точности нужно, чтобы многочлен Н был типичным. Множество типичных многочленов открыто по Зарисскому. [37]
Значит, в множестве многочленов не всегда выполнена операция деления нацело, обратная к операции умножения. Зато в множестве многочленов всегда выполнена операция деления с остатком. [38]
Показано, что синдром определяется ошибкой и не зависит от сообщения. Далее обоснована необходимость использования множества многочленов по модулю данного простого многочлена. Кроме того, рассмотрена необходимость дополнительного условия существования у многочлена примитивного корня, при котором обеспечивается возможность записи всех элементов в виде степеней этого корня; в некотором смысле эта процедура эквивалентна введению логарифмов. [39]
Все тождества относительно сложения выполнены, в этом мы убедились при рассмотрении кольца многочленов. Операция, заданная на множестве многочленов, представляет собой нечто иное, как замену переменной, илиподстановку. [40]
Значит, в множестве многочленов не всегда выполнеиа операция деления нацело, обратная к операции умножения. Зато, как будет показано ниже, в множестве многочленов всегда выполнена операция деления с остатком. [41]
Значит, в множестве многочленов не всегда выполнимо деление нацело. Зато, как будет показано ниже, в множестве многочленов всегда выполнимо деление с остатком. [42]
Таким образом, теорема Вейерштрасса эквивалентна указанной алгебраической теореме. Вообще все свойства всякой непрерывной функции аналитически содержатся в свойствах множества многочленов, которые равномерно сходятся к этой функции. Достаточно любого частного множества многочленов, бесконечно приближающихся к данной функции, чтобы определить эту функцию; но среди всех таких множеств многочленов есть одно особенно важное - это множество наименее уклоняющихся от данной функции многочленов Чебышева, которые быстрее всего сходятся к рассматриваемой функции. Так, например, распределение нулей этих приближающих многочленов имеет очень интересную связь с природой самой функции. Чтобы не возвращаться к этому еще мало изученному вопросу, я представляю здесь вниманию молодых исследователей один из недавно полученных мною результатов: какова бы ни была функция, корни соответствующих приближающих многочленов можно по желанию приближать или удалять от рассматриваемого отрезка, но между модулями и аргументами существуют инвариантные соотношения, характеризующие это распределение корней. [43]
Говорят, ч о лодугрупаа ян-ля-лся унитарной, если для операции существует единица. Полугруппа является коммутативной, если операций коммутативна. Множество многочленов от х с целыми неотрицательными коэффициентами составляет, например, полукольцо Скоторое не является кольцом), с двумя операциями: сложением и умножением. [44]
Таким образом, теорема Вейерштрасса эквивалентна указанной алгебраической теореме. Вообще все свойства всякой непрерывной функции аналитически содержатся в свойствах множества многочленов, которые равномерно сходятся к этой функции. Достаточно любого частного множества многочленов, бесконечно приближающихся к данной функции, чтобы определить эту функцию; но среди всех таких множеств многочленов есть одно особенно важное - это множество наименее уклоняющихся от данной функции многочленов Чебышева, которые быстрее всего сходятся к рассматриваемой функции. Так, например, распределение нулей этих приближающих многочленов имеет очень интересную связь с природой самой функции. Чтобы не возвращаться к этому еще мало изученному вопросу, я представляю здесь вниманию молодых исследователей один из недавно полученных мною результатов: какова бы ни была функция, корни соответствующих приближающих многочленов можно по желанию приближать или удалять от рассматриваемого отрезка, но между модулями и аргументами существуют инвариантные соотношения, характеризующие это распределение корней. [45]