Cтраница 4
Если S вполне приводима, то и - полупростая алгебра. Предположим теперь, что 6 содержит некоторый неполупростой элемент С. Тогда ( C f содержит отличный от нуля нильпотентный элемент N. Далее, ( C f - множество многочленов относительно С, так что элемент N тоже есть многочлен относительно С. [46]
Многочлен - это, очевидно, частный случай степенного ряда, когда в ряде имеется лишь конечное число членов. Разумеется, вычислительная машина допускает представление и запоминание лишь конечного числа членов, так что осмыслен вопрос, возможна ли вообще арифметика степенных рядов на ЭВМ, и если возможна, то чем она отличается от полиномиальной арифметики. Ответ состоит в том, что мы работаем только с первыми N коэффициентами степенного ряда, где параметр N может в принципе принимать произвольно большие значения; вместо обычной полиномиальной арифметики мы по существу имеем дело с полиномиальной арифметикой по модулю ZN, и это часта приводит к несколько иной точке зрения. Далее, над степенными рядами возможно выполнение некоторых специальных операций, например обращения, по отношению к которым множество многочленов не является замкнутым. [47]
Можно доказать, что введенная нами операция умножения многочленов ассоциативна. Следовательно, многочлены образуют полугруппу, и эта полугруппа коммутативна. Мы не будем приводить подробное доказательство этого утверждения, поскольку оно довольно громоздко и требует использования полной индукции. Скажем лишь, что заданные на множестве многочленов с целочисленными коэффициентами операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности. Следовательно, многочлены с целочисленными коэффициентами образуют коммутативное кольцо. [48]