Cтраница 3
Иными словами: каждая интегральная кривая исходного уравнения лежит в одном множестве уровня функции. [31]
Са следует, что вогнутая функция b ограничена сверху и что ее множества уровня тоже компактны. Это завершает доказательство теоремы. [32]
Если размерность фазового многообразия равна сумме размерности алгебры g и ее ранга, то множество Мр регулярного уровня общего положения отображения моментов не особо и имеет каноническую аффинную структуру. В этой аффинной структуре фазовый поток инвариантного гамильтониана Н выпрямляется. Каждая компактная компонента связности множества Мр является тором, на котором фазовый поток условно периодичен. [33]
Ясно, что не может быть простого полярного соответствия между множествами уровня самой выпуклой функции и множеством уровня сопряженной к ней функции. Однако для важного класса функций справедливы весьма полезные неравенства. [34]
При с л / 2 - 2 Ни выглядят как сферы с выколотыми точками пересечения с осью г. При с - 2 множество уровня - окружность ( х2 - - у2 - 2, г - 0, на которой градиент функции F обращается в нуль. Этот пример показывает важность обоих условий - дифференцируемое и максимальности ранга - для справедливости теоремы. [35]
Разница между ( хс / х - 1) и х х в двух интегралах в формуле ( 2) отражает тот факт, что эйлерова характеристика локального множества уровня Fc П В. В первом случае это локальное множество уровня стягиваемо, а во втором является разностью двух стягиваемых множеств. [36]
А ( ( 7) - орбитами, если все с - ф О1 Если же, например, GI - 0, то возникает так называемый вторичный инвариант / tr ( F2) и множество уровня разбивается на орбиты меньших размерностей. [37]
Разница между ( хс / х - 1) и х х в двух интегралах в формуле ( 2) отражает тот факт, что эйлерова характеристика локального множества уровня Fc П В. В первом случае это локальное множество уровня стягиваемо, а во втором является разностью двух стягиваемых множеств. [38]
Двойственность, введенная в § 12, применяется в § 13 ( Опорные функции) для получения результатов - о двойственности между выпуклыми множествами и положительно однородными выпуклыми функциями. Находится выражение для опорных функций эффективных множеств и множеств уровня выпуклой функции через сопряженную функцию / и ее рецессивную функцию. [39]
В данной главе рассмотрены несколько подходов применения метода фазовых ограничений в зависимости от характера задания е-окрестностей. При этом s - окрестности предлагается задавать: как некоторые множества уровня функций ограничения; с помощью некоторых отображений ( стационарных и нестационарных) границ заданных множеств; на основе проекционного подхода. Для каждого из подходов получены конкретные соотношения для решения задач синтеза. [40]
В теории выпуклых экстремальных задач существенную роль играет двойственность; об этом мы много будем говорить в следующих параграфах. В значительной степени двойственность основывается на соответствии, существующем между свойствами множеств уровня leva / и поведением сопряженной функции / в начале координат. Это соответствие устанавливалось шаг за шагом в предыдущих параграфах; сейчас имеет смысл подвести итог. [41]
Он решает простую задачу минимизации, которая возникает во многих случаях, но иногда кажется слишком запутанной при неправильном подходе к ее рассмотрению. Доказательство ( оставляем его читателю) представляет собой несложное манипулирование с множествами уровня. [42]
Теорема 6.48. Пусть М - пуассоново многообразие, a G - регулярная гамильтонова группа преобразований. Предположим, что ранг отображения момента Р: М - - максимален всюду на множестве уровня Уа Р-1 ее и что остаточная группа симметрии Ga действует на подмногообразии ff a регулярно. [43]
Пусть теперь группа G порождена двумя независимыми сдвигами, причедо R3 / G Т х R, где Т - плоский двумерный тор. R - R - третья координатная функция, Tt Т х ( i) - множество уровня функции х % на высоте h и D 0 z 1 - проколотый диски С. [44]
Доказано, что для п раз дифференцируемой функции F от п переменных множество всех особых точек отображается функцией F во множество меры нуль. Отсюда следует, например, что у п раз дифференцируемой функции n - переменных почти все множества уровня состоят из конечного числа дифференцируемых многообразий каждое. Этот результат перестает быть, верным для п - 1 раз дифференцируемых функции от п переменных. [45]