Cтраница 4
Таким образом, подгруппа изотропии любого элемента а - citai Сг ( о2 тривиальна, если только с / 0; в противном случае она совпадает со всей группой G. Мы ожидаем поэтому, что при с ф 0 ограничение гамильтоновой системы с группой симметрии G на множество уровня ffa р с, pq р - с2 не имеет остаточной группы симметрии, а при Ci0 остаточная группа симметрии совпадает со всей группой G. В точности это мы и наблюдаем. [46]
Доказательство этого результата мы оставляем читателю. Таким образом, в примере 2.4 ( а) прямые x cy - - d - это просто множества уровня Сс-инвариантной функции t ( x, y) x - - су, и, следовательно, они автоматически являются Сс-инва-риантными подмножествами. [47]
Предположим, что две из этих функций / и / ь правоэкви-валентны. Тогда найдется диффеоморфизм А, переводящий некоторую окрестность Vi точки ( 0, 0) в другую окрестность У2 этой точки и сохраняющий множества уровня. [48]
Рассмотрим однопараметрическое семейство гиперплоскостей, а именно, выберем гиперплоскость общего положения в К, пересекающую тело, и будем двигать ее параллельно самой себе; при этом условие общности положения состоит в том, что вещественная линейная функция ф ( х), множества уровня которой ф ( х) т задают гиперплоскости из этого семейства, имеет только морсовские критические точки в ограничении на поверхность тела, причем критические значения в них различны. Если тело строго выпуклое, то имеется лишь две такие критические точки - минимум и максимум. Когда мы сдвинем плоскость параллельно себе от одного критического положения до другого, объем отсеченной части тела будет изменяться от 0 до полного объема тела. Если дойти по полного объема, а затем начать двигаться обратно, то объем будет уменьшаться. Но если перед тем, как начать двигаться обратно, заставить параметр г нашего семейства выйти в комплексную область и обойти вокруг критического значения, то оказывается, что в силу формулы Пикара-Лефшеца ( при четном N) объем будет не уменьшаться, а снова увеличиваться - ровно на столько же, на сколько он уменьшался бы, если бы мы не обходили вокруг критического значения. [49]
Z) n называется разрешимым, если оно иг его дополнение перечислимы. Интуитивно это означает, что есть программа, по каждому элементу ( Z) n выясняющая, принадлежит ли он Е или нет. Эти множества можно охарактеризовать как множества уровня общерекурсивиых всюду определенных частично рекурсивных функций, или же как множества, характеристическая функция которых рекурсивна. Чтобы установить эти свойства, используется следующий результат. [50]
Пусть имеется задача распределения множества агентов А на множество групп Г по совокупности критериев С. Здесь gRs ( aj aj) 1 соответствует полному сходству агентов а, и aj, a gRS ( a aj) 0 - их полному несходству. Задача распределения может пониматься как построение множеств уровня для нечеткого отношения сходства. [51]
Имеется надежда, что соображения, близкие к гиперболической теории, позволят доказать эргодичность системы твердых шаров в ящике, со времени Больцмана постулируемую в статистической механике. Эргодичность означает, что каждое инвариантное подмножество фазового пространства имеет меру нуль, либо полную меру; она влечет совпадение почти всюду временных и пространственных средних. В данном случае под фазовым пространством понимается множество уровня энергии. [52]